探究与发现 组合数的两个性质优秀教学设计

组合数的两个性质

淇县第一中学 李飞雪

教学目标

（一）教学知识点

组合数公式、组合数性质. （二）能力训练要求

1.进一步熟悉组合数的公式. 2.理解并掌握组合数的两个性质. 3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题. （三）德育渗透目标

通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题. 教学重点：组合数性质. 教学难点：转化思想的应用. 教学方法：启发式

本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题不同角度、不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质. 对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与其相关的实际模型，并能从不同角度作出解释. 教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片§10.3.2 A）

10!10981207!3!32

1098373C10120.即C10C10327C10［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？

［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10－7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出77（10－7）个元素的组合数是相等的，即有C10C10-10

［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1. nm性质1：Cm

nCn证明：由组合数性质有

Cmnn!

m!(nm)!

mCnnn!n!

(nm)![n(nm)!]m!(nm!)nm∴Cm

nCn［师］针对性质1，我们说明两点：

nnm（1）为简化计算，当m＞时，通常将计算Cm. n改为计算Cn2（2）为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C0n=1. ［师］下面，我们来看一道例题. ［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数. 8763解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是：C8=56. 3!（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是：

762C7=21. 2!（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是：

765C3=35. 73!［师］从此例题的结果我们能否发现什么？

23［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C8=C37+C7

［师］你能对这一结果作出解释吗？

［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立. ［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2. mm1性质2：Cmn1CnCn. 证明：由组合数公式有：

m1CmnCnn!n!m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m(n1)!Cmn1m!(nm1)!m![(n1)m]!mm1∴Cmn1CnCn

［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.

m1233[例2]求证:Cm3CmCmCmn3Cnnnn3.m123证明:Cm3CmCmn3Cnnnm1m1223(CmCm)(CmCm)nCn)2(Cnnnn1m2m3(Cmn12Cn1Cn1)1m2m2m3m2m3m3(Cmn1Cn1)(Cn1Cn1)Cn2Cn2Cn3.

评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质. Ⅲ.课堂练习

课本 A组练习 1、2 Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用. Ⅴ.课后作业

课本 B组习题1、2. . 板书设计

§10.4 组合

性质1

例1

例2 nm

CmnCn

解答过程

学习练习

性质2

mm1CmCCn1nn