探究与发现 组合数的两个性质教学设计方案

组合数的两个性质

福建省三明第一中学

杨晓兰

指导老师：魏有莲

叶长琴

1、教学任务

本课是学生在初步学习了组合、组合数公式的基础上进行教学的，结合具体的实际问题让学生初步体验用直接法或者间接法来解决组合问题，能够从特殊或具体的问题背景中探究组合数的性质，从中体会将实际问题转化为组合问题的方法及分类讨论的思想。

在教学中设计问题情境，让学生体会数学是自然的。对于某一概念，我们只要想一下它的实际背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就能发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。

2、教学重点与难点

重点：组合数的两个性质、两个性质的证明、两个性质的运用

难点：组合数的两个性质的探究发现

3、教学基本流程

4、教学情境设计

问题

我们年段将在月底进行一场足球比赛，包括体委在内，班上足球运动员有14位，你们都没有参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。

（1）我们可以形成多少种队员上场方案？

（2）我们可以形成多少种队员不上场方案？

设计意图

学校即将开展春季运动会，利用此问题情境可以引起学生的兴趣，吸引学生的目光，激发学习的热情。

有效地引导学生思考、探究问题。用所学知识解决与实际师生活动

教师提出问题，引导学生分析问题，希望同学们能感知：“取法”与“剩法”的一一对应。

再利用转化思想、方程思想、从特殊到一mnm般的思想、等价原则等探究得到Cn。Cn创设情境，提出问题

自主学习，探究问题

合作研讨，解决问题

领悟新知，应用问题

教师引领，深化问题

升华知识，拓展问题

并了解等式的左右两边是对同一个问题的等价解释。用不同的思路解决同一个问题，也就是“算两次”思想。

生活息息相关的问题，是增强学习积极性的有效手段。

（3）抽出的11人中，包括体委在内的抽法有多少种？

（4）抽出的11人中，不包括体委的抽法有多少种？

利用特殊问题，便于学生运算与观察，通过对问题的分析引导学生类比探究1的过程分析并归纳出组合数的第二个性质。

要求学生利用组合数的公式证明等式成立，发现等式的特点，由学生叙述特点，加深印象。

111110类比问题（1）（2），猜想C14，C13C13并说明等式的左右两边是对同一个问题作出的两种等价解释，等式必然成立。

类比探究1，利用分类讨论思想归纳出组mm1m合数的第二个性质Cn，希望同Cn1Cn学们能感知：“含”与“不含”的分类思想。

要求学生利用组合数的公式证明等式成立，发现等式的特点，由学生叙述特点，加深印象。

（5）通过以上4个问题，我们抽象出了哪些一般结论？

归纳小结，回首数学知识的再发现过程，让学生充分体会到数学源于实践，数学知识的产生是人类为解决问题的自然结果，而不是只为了应试人为地编制一些问题去求解。

再次复习分类加法计数原理，并增强通过类比手段发现问题的能力。

设计一个在学生思维最近发展区域的问题情境，对学生理解问题有真正的启发作用，能使得学生自然流畅地解决问题，并能对组合数的两个性质有更加深刻的认识和运用。

师生共同回顾组合数两个性质的探究过程，主要由学生归纳、巩固探究过程中运用的数学思想方法，以及等价原则。

小结：

mnmCnCnm,nN*,mn

mm1mCnCnm,nN*,mn

1Cn（6）能否用所学知识解决实际问题？

某校图书馆A区共有7个书架，每个书架上有100本不同的图书。

①小明从第一个书架中取出98本书，共有多少种不同的选法？

②某书架上有x本漫画书，满足x3x20，问漫画书有多少本

C100C100领悟新知，应用问题。

教师建议小组内合作，相互讨论解决问题。每组派选代表到黑板上展示结果。

①利用组合数的第一个性质，简化运算

②利用组合数的第一个性质解方程，不会漏解

③利用组合数的第二个性质，简化运算

教师提醒学生，解题之前要认真审题，审题是开启成功解题的钥匙。

③张强发现这7个书架上自己喜欢的书分别有93,94,95,96,97,98,99本，他决定每次只在对应的书架上从自己喜欢的图书中借1,2,3,4,5,6,7本书，张强有多少种不同的借书方法？

（7）如果在选出的11名上场队员中，还要确定其中的守门员，那么教师引领，深化问题。有效地挖掘实

教师提出新的问题，引导学生分析问题，小组间合作研讨，解决问题。

有多少种方式做这件事情？

际问题，很自然地为学生发现探究组合数的性质提供背景。

此问题的设计典型又切合实际，能达到“跳一跳摘果子”的效果。让学生再次体验知识的“再发生”过程。

借鉴组合数两个性质的探究过程中运用的思想方法，解决同一个问题用两种不同的思111110路，得到等式C14。希望同学C11C14C13们能感知：“先选”与“后选”的分步思想，以及“算两次”思想。

利用特殊到一般的思想，猜想得到m11m1mm1CnCmCnCn1即mCnnCn1

一个新的组合数的性质，这个性质在二项式定理的学习中有很重要的运用。

（8）如果在选出的11名上场队员中，还要确定其中2名后卫，那么有多少种方式做这件事情？

升华知识，拓展问题。鼓励学生自主设问，引导学生通过实际问题得出一般性质，激发兴趣。

11229学生很快得到等式C14，C11C14C12利用两种思路解决同一问题，解决此问题利用分步思想。

教师提出问题：若是确定3名前锋呢？帮助学生感受到第二步确定的人不止于1人或者2人，可以是任意的，只要不超过11个人都可以，由此得出一般性的结论：mkkmk*CnCmCnCnkm,n,kN,kmn

（9）小结，习题

归纳思想方法，加深印象。概括得到组合数两个性质过程中的思想方法、巩固两个性质的运用。

提出问题，引发思考，帮助学生从特殊问题猜想得到一般结论。

同学们一起概括，再由教师概括，让学生体会到数学源于生活，生活中处处有数学。

2001习题：1、计算C2002

3n64n22、解方程C18

C1834563、计算C7

C7C8C94、思考：从n个人中抽取若干个人（至少一人）参加比赛，有多少种不同的方法？