1.3 二项式定理（通用）设计意图

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二项式定理（一）教学设计

高二数学组 罗雨辉

一、教材分析

二项式定理是人教A版高中数学选修2-3第一章计数原理第1.3节的内容，是学生学习了计数原理和排列、组合之后的一个重要的恒等式。一方面是因为它的证明用到了计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是为了学习随机变量及其分布列作准备，起到了承上启下的作用；另外二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合恒等式，这对深化组合数的认识很有好处，可以解决一些综合性问题。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容的重要知识，需要熟练掌握。

本节课主要是要研究二项式定理的证明、公式的正用、逆用，并充分掌握通项公式的灵活应用，充分展示其内涵和外延。

二、

教学目标

根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，

确定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能目标：掌握二项式定理的证明方法及其展开式的通项公式；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2、过程与方法目标：通过学生参与和探究二项式定理的应用过程,体会通法通解在解题中的魅力，同时学会观察代数式的特征构造二项式定理解决一些简单的问题。培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观目标：通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。体会数学的应用价值，感受数学的的思维之美，提高学生学习数学的兴趣。

三、

教学重点和难点

教学重点：二项展开式中的特定项或特定项系数。

教学难点：构造二项式定理解决一下简单的综合性问题。

重难点确定的依据：二项式定理是高中数学中的一个重要的知识，也是高考命题的热点，多以选择题和填空题为主，试题难度不大，多为容易题或中档题，有的时候也会出现以下恒等式的证明和应用

（1）求展开式中的某一项；

（2）求展开式项的系数或二项式系数；

（3）由已知条件求n的值或者参数的值；

（4）构造二项式定理解题。

四、教法学法分析

通过引导学生复习总结知识和方法，激发学生的求知欲，引起学生对数学知识和思维的1

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思考。让学生通过考点和方法的不断地不断练习发现问题，并在过程中获得自信心和成功感。学生通过对试题的解决，利用并巩固相关的知识，进而在强调知识的严谨性的同时注重知识的形成过程和总结归纳价值。本节利用归纳法、类比法逐步引导学生学会并掌握二项式定理的运用。

五、教学过程

(一）

教材梳理

设计意图：通过平方公式、立方公式等具体的恒等式及其项数、指数、系数的研究，归纳猜想二项式的展开式，进而用计数原理证明二项式定理，体现了数学中由特殊到一般的思想方法，同时让学生进一步认识先猜后证的解题方法。

（二）知识归纳

1．二项式定理

(1)定理：

n1n－1n－kkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)．

(2)通项：

n－kk第k＋1项为：Tk＋1＝Ckb．

na

(3)二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0，1，2，…，n)．

设计意图：通过公式及二项式定理问题加深学生对二项式定理的理解与运用，让学生通过观察有进一步的认识。

(三)方法点拨

题型一、公式的正用

1例1、求1的展开式。

x4

2

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题型二、公式的逆用

4321例2、设Sa4a6a4a1，则化简得S（ ）。

A.a2 B.a1 C.a D.a1

4444

变式训练1:设Sx14x16x14x11，则化简得S（ ）

4321444A.x2 B.x1 C.x4 D.x1

变式训练2：化简x15x110x110x15x1= 54321

题型三、求特定项或者特定项系数（高频考点）→通项法（通解通法）

例3、12x的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的n项和系数最大的项

3例4、已知在3x的展开式的第6项为常数项。

3x （1）求n；

（2）求x项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项。

设计意图：通过熟记和应用二项式定理及其展开式的通项公式可以解决大部分的二项式问3

2n

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题. （四）

课堂小结

1、二项式定理的正用和逆用（牢记：恒等式）；

2、用通项公式求特定项或特定项系数（通项法：掌握通解通法）；

3、熟悉常用的数学思想和方法（类比法；由特殊到一般的思想；归纳、猜想、证明法即数学归纳法；转化思想）。

设计意图：课堂小结，顾名思义，就是对本节知识点、思想方法进行梳理、整合，对重点知识或难点知识、以及重要的思想和方法进行强调。课堂小结让学生思考，发挥他们的主观能动性，使课堂小结既具有整合梳理的功能，又有调控与矫正的功能。

（五）

课堂练习

1、教材课后习题（P31页1、2、3、4）

2、真题展示：

1 （1）2-展开式中的第四项是 ；

3x1（2）2x展开式中的常数项是 ；

2x（3）12x1x的展开式中x的系数是 。

34266（六）

拓展训练（思考题）

请用数学归纳法证明：二项式定理；

1求1-x31x10展开式中x5的系数；

12求x2展开式中的常数项。x66432n28n9.

证明：

（七）

板书设计

电子白板屏幕

主板书【一直保留】

一、知识梳理

1、二项式定理

2、二项式定理展开式的通项公式

二、方法点拨（通项法）

例题3（规范书写）

例题4

4

辅板书：归纳

猜想

证明

例1 例2

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