3.三个正数的算术-几何平均不等式教学实录

《三个正数的算术—几何平均不等式》教学设计

教材来源：高中数学人教A版2003课标版

内容来源：选修4-5不等式选讲第一讲第一节第三课时

主题：三个正数的算术—几何平均不等式

课时：一课时

授课对象：高二文科学生

设计者：郑全伟/巩义第三高级中学

目标确定的依据

1.课程标准相关要求

（1）理解定理3、定理4，会用定理解决函数的最值或值域问题；

（2）能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题。

2.教材分析

基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．

3.学情分析

学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。

学习目标

1．了解三个正数的均值不等式的证明方法及其推广形式，掌握它的形式特征，会运用它求简单的最值问题。 2、通过观察归纳、类比、猜想等方法发现、证明、理解、运用定理，并将它推广到一般情形。

学习重点与难点

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式

学习难点：运用拆项，调配系数，凑型等方法创造条件使用三个正数的算术—几何平均不等式求最值及证明不等式．

教法与学法

教法：新授课，教师引导为辅。

学法：自主合作

评价任务

1.通过定理的证明过程及例1、例2评价目标1；

2.通过定理的推广过程，例题的总结过程等评价目标2.

教学过程

一、温故知新

引导学生复习与本节课相关的知识：

1、常用公式：

(ab)3___________. a3b3___________. 2、重要不等式：

a2b22ab(a、bR)，当且仅当时ab等号成立. 3、基本不等式：

ab2ab(a、bR)，当且仅当时ab等号成立. 4、问题：类比基本不等式，猜想一下，三个正数的算术—几何平均不等式是什么？

学生活动：学生解答学案上的复习内容：

1. 常用公式：

ab3a33a2b3ab2b3 a3b3aba2abb2

从2.3两个知识中等价得出

ababa、bR两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 24、类比，猜想三个正数的算术—几何平均不等式为：

abc3abca、b、cR

3设计意图：以旧引新，揭示课题。

二、探究新知

1、猜想：

若a、b、cR，求证：abc3abc.当且仅当时abc时等号成立. 3333求证：abc3abc，当且仅当时abc时等号成立. 若a、b、cR，（学生自主思考，猜想结论.）

设计意图：借助类比的方法，引导学生进行猜想，培养学生合情推理能力. 2、证明： 因为abc3abc（作差）=ab3a2b3ab2c33abc=abc33a2b3ab23abc

33333

=abcab==abcababcc23ababc

22abcc23ab

=abca2b2c2abbcca

1abcab2bc2ca20

2333所以abc3abc，当且仅当时abc时等号成立. （学生在教师引导下，经历演绎推理的论证过程.）

设计意图：从已有知识出发，层层推进，调动学生进行逻辑思维的内驱力，逐步导出结论，培养学生演绎推理能力. 3、定理：

333若a、b、cR，则abc3abc，当且仅当时abc时等号成立. （能用准确的数学语言表述出定理.）

4、定理解读：

（1）a、b、c都为正数（一正）

（2）abc3abcabc33abc，若abc为定值，abc可能有最小值；

33abc3abcabcabc，若abc为定值，abc可能有最大值. 33（类比基本不等式，引导学生对定理进行解读，让学生抓住利用定理解决问题的关键）

设计意图：对定理有效的解读有利于学生抓住数学的本质，提高学生运用知识的敏感性，从而提升学生的正确运用数学知识的能力. 5、定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：

若a1,a2,a3,,anR，则a1a2a3anna1a2a3an，当且仅当时na1a2a3an时等号成立. （类比基本不等式和三个正数的算术-几何平均不等式，归纳出n个正数的算术—几何平均不等式）

设计意图：借助类比的方法，引导学生进行类比推理和归纳推理，培养学生合情推理能力. 三、学以致用

例１.求函数y2x23x0的最小值． x（教师给出两种解答方法，由学生进行辨析）

学生进行解法辨析后，在教师的引导下给出正确解答，并进行解后反思：

求形如yax2bx0,a0,b0最小值的方法：

x

（1）拆项：yax2bbbax2

x2x2x22bbbbab2（2）运用算术—几何不等式：yax

33ax332x2x2x2x4（3）关注等号成立的条件：当且公当ax

变式训练1：求函数y2x2bb，即x3时，等号成立. 2x2a3x0的最小值。

2x学生独立完成变式训练，在教师引导下.进行解后反思：

bx0,a0,b0最小值的方法：

x2baab（1）拆项：yax2xx2

22xx求形如yax2aabaabab（2）运用算术—几何不等式：yxx233xx233

22x22x4（3）关注等号成立的条件：当且公当

abbx2，即x3时，等号成立. 2x2a2例2.已知0x1，求函数yx1x的最大值．

（教师给出1种解答方法，由学生进行辨析）

学生进行解法辨析后，在教师的引导下给出正确解答，并进行解后反思： 利用算术—几何平均不等式求最值应注意：

1）拆项、拼凑要合理；

（2）“一正、二定、三相等”缺一不可. 2变式训练2、已知0x1，求函数yx1x的最大值。

四、课堂小结

本节课我们学习了三个正数的算术-几何平均不等式，重、难点是什么？体现了哪些数学思想方法？ 1．重点：不等式的三个条件

——“一正二定三相等”； 2．难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法； 3．数学思想：类比，整体、转化等

五、课后练习

1、函数yx2x420x2的最大值是（ ）

A、0 B、1 C、1632 D、

27272、若a、bR，且ab，则a3、函数y2x21的最小值是___________ abb4xR的最小值是___________ x24、函数yxa2x0xa的最大值是___________ 2六、课后作业

校本作业

七、教学反思

1.本节课学习了基本不等式的推广形式，对学生更好的运用基本不等式解决相应的数学问题提供保障。

2.在本节课的教学中，发现学生对于严格做题仍有不足，以后会强调大题要严格步骤，更好的避免扣分。

3.本节课中自己有一部失误，以后课堂要避免出现不应该出现的问题。