一 比较法教学设计第一课时

第二讲 证明不等式的基本方法

唐山市滦南县第一中学 张卫霞

课 题： 不等式的证明方法之一：比较法

教学目标：1．了解用做差比较法证明不等式．

2．了解用做商比较法证明不等式．

3．提高综合应用知识解决问题的能力．

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

一、新课学习：

（1）要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

教学备注

abab0

abab0

（2）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

aa

①b>0，若

>1，则a>b；若

<1，则a

bbaa

②b<0，若

>1，则a

b<1，则a>b

b二、典型例题：

[例1]

设△ABC的三边长分别是a，b，c，

求证：4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.

[思路点拨 作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用．

[证明] ∵a，b，c 是△ABC 的三边长，

∴a>0，b>0，c>0，

且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.

∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2

＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)

＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0

∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.

1

总结：(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

课堂练习：

1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．

＋＋＋＋证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an1＋bn1)

＋＝an1＋abn＋ban＋bn1－2an1－2bn1

＋＋＋＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．

①若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0.

②若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0.

③若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.

综上所述，对于a，b∈R＋，n∈N*，

都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

＋＋[例2]

设a>0，b>0，求证：ab≥(ab)aba＋b

2

[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法．

a＋b

2a＋b

2[证明]

∵aabb>0，(ab)>0，aabb/ (ab)＝aa－b

2·b b－a

2a

＝ba－b

2

a－baa当a>b>0时，>1，>0，∴由指数函数单调性，有b

b2a－b

2>1；

2

a－baa当b>a>0时，0<<1，<0，∴由指数函数的单调性，有b

b2综上可知，对任意实数a，b，都有ab≥(ab)

aba＋b

2b－a

2

>1.

总结：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

课堂练习：

a2－b2a－b3．设a>b>0，求证：22>. a＋ba＋ba2－b2a－ba－ba＋b证明：法一：22－＝2a＋ba＋ba＋b2＝22－a2＋b2a＋b

2aba－b>0，

a＋b2a＋b∴原不等式成立．

法二：∵a>b>0，故a2>b2>0.故不等式左边>0，不等式右边>0. 左边a＋b22ab∴＝2>1.∴原不等式成立．

2＝1＋2右边a＋ba＋b2[例3]甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

[思路点拨]设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2St2，可得t1m1nS，，2m2nmn22t2S(mn)，

2mn2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

3

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）abc32222a1.

21a3．若abc0，求证abc(abc)四、课时小结：

abc.

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。

六、教学后记：不等式的证明题型多变,方法多解,技巧性强,没有固定的程序和统一的方法、证明不等式的一般方法有做差比较法、做商比较法、综合法、分析法,其他方法有反证法、放缩法、换元法和判别式法。而对这些方法的使用,要根据不等式的结构特征,去分析条件与结论之间的内在联系,不断总结规律,选择合理有效的证明方法,下面就几种方法作简要透析。一、比较法比较法是证明不等式最常用的方法之一,其中有作差比较和作商比较法1.作差比较法的基本步骤是:作差→变形→判断符号。其中“变形”是关键。通常需要配方或因式分解,将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式,有些形式也可用判别式法来判别符号。2.作商比较法的基本步骤是:作商→变形→判断商与1的大小关系。其中作商首先确定a、b的符号。通过比较a/b与1的大小关系来判断a与b的大小关系。一般地证明幂指数不等式时常用作商比较法。证明对数不等式时常用作差比较法,当“商”或“差”式中含有参数时。通常都要对参数的取值进行分析。应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性。

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