阅读与思考法国科学家柯西教学实录｜教案在线预览

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二维形式的柯西不等式学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不

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所属课文：阅读与思考法国科学家柯西

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2018-08-30 20:01:00

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学校：秦安县第一中学

阅读与思考法国科学家柯西教学实录

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2018-08-30 20:01:00

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关键词：阅读与思考法国�…教学实录

正文

二维形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

其中等号当且仅当adbc时成立。

证明：略。

推论：

1．

a2b2c2d2|acbd|(当且仅当ad=bc时，等号成立.) 2．(ac)(bd)(acbd)2.(a,b,c,dR)(当且仅当ad=bc时，等号成立.) 22223．abcd|ac||bd|（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）

例1：已知a,b为实数，求证(ab)(ab)(ab)

4422332说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x1102x的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|a2b2c2d2）

解：函数的定义域为【1，5】，且y>0 y5x125x

52(2)2(x1)2(5x)2

27463当且仅当2x155x时，等号成立，即x课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2

127时，函数取最大值63

2.求函数y3x546x的最大值. 例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证114

ab111111分析：注意到(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等ababab式了。

课堂练习：

已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为acbd，

而||a2b2，||c2d2，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

分析：（课件）

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。

作业：P37页，4，5，

7，8，9

关于本教案的常见问题

Q：阅读与思考法国科学家柯西教学实录是什么类型的资料？

A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

Q：这份教案对应哪篇课文？

A：对应课文《阅读与思考法国科学家柯西》，可从面包屑进入课文目录查看同课其他资料。

Q：如何找到配套课件？

A：页面提供「配套课件/同课文课件」入口；也可进入课文详情页同时查看教案与课件列表。

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