一 数学归纳法优质课教学设计

数学归纳法及其应用举例

龙泉二中

冯璇

（一）教材分析

本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

（二）学情分析

学生通过数列等相关知识的学习，已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本具备对已给问题进行主动探究的学习，但主动提出问题和置疑的习惯还需训练。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。继续培养学生主动置疑和提出问题？也是本节课的任务之一。

根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。

（三）教学目标

1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

2.能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使

1

学生喜欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

（四）教学重难点

根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：

1.重

点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步应用数学归纳法证明简单的数学问题。

2.难

点

数学归纳法中递推思想的理解

（五）教学方法手段

(1).教学方法:类比启发探究式教学方法进行教学

. (2).学法指导:在教学过程中，我不仅要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标．

(3).教学手段：多媒体.

（六）教学过程

第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容

1．

创设问题情境，启动学生思维

(1) 不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．又比如：中国的乌鸦是黑的,美国的乌鸦是黑的,巴西的乌鸦是黑的, 法国的乌鸦是黑的, 所以,天下的乌鸦一般黑。不完全归纳法,是根据对某类事物部分对象的考察而得出一般性结论的推理形式。

(2) 完全归纳法对比引例：

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，

2

他比大徒弟聪明．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．

（通过生活中的一些实例让学生了解和认识不完全归纳法及完全归纳法。并且将它们进行对比让学生更好的理解归纳法在现实生活中的应用）

2．

回顾数学旧知，追溯归纳意识

（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）

(1) 不完全归纳法实例：

给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．

(2) 完全归纳法实例：

证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．

3．

借助数学史料, 促使学生思辨

（在生活引例与学过的数学知识的基础上，通过三个问题再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）

问题1

已知an＝(n25n5)2（n∈N），

(1)分别求a1；a2；a3；a4．

(2)猜想an的值，计算a5的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的数学公式。

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）

问题2

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，221一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了221＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

3 5n

问题3

f(n)n2n41, 当n∈N时，f(n)是否都为质数？

验证：

f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝412，是合数．

第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构

1、

搜索生活实例，激发学习兴趣

（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．）

实例：多米诺骨牌

关键：(1) 第一张牌被推倒；

(2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．

于是, 我们可以下结论：

多米诺骨牌会全部倒下．

2、

类比数学问题, 激起思维浪花

（类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式ana1(n1)d）：

(1) 当n＝1时等式成立；

(2) 假设当n＝k时等式成立, 即aka1(k1)d, 则

于是, 我们可以下结论：

ak1akd=a1[(k1)1]d, 即n＝k＋1时等式也成立．等差数列的通项公式ana1(n1)d对任何n∈N*都成立．

（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）

3、

引导学生概括, 形成科学方法

（通过板书数学归纳法的两个关键步骤让学生认识今天所学的证明方法）

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值n0（例如

n01)时结论正确；

(2) 假设当n＝k (k∈N*，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．

完成这两个步骤后, 满足这两个条件后，命题对一切nN*均成立。

这种证明方法叫做数学归纳法．

4

4、

理解升华

（这是本节课的难点也是最重要的一个环节，对上面的证明方法，很多学生会有置疑，师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识，并且进一步进行方法的总结）

本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时

n=1时命题成立

因为有（2）正确（这时k=1）nk1,即n=2时命题成立因为有（2）正确(这时k=2)

nk2,即n3 时命题成立因为有（2）正确（这时k=3）

nk14时命题成立n5时命题成立……即对一切nN*，命题均成立。

让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。

思考：根据以上逻辑推理。

①

条件（1），条件（2）分别起什么作用？

②

条件（1），条件（2）为什么缺一不可？

3.方法总结：

学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤：

（1）n取初始值n0 (例如n01)时命题成立; （2）假设nk(KN*,Kn0)时命题成立，利用它证明nk1时命题也成立。

第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程

1、

数学归纳法的应用

例 1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2．

（本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。）

5

练习：

(1)用数学归纳法证明：

1＋2＋3＋…＋n＝0.5n(n+1)．．

(2)首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1．

（练习2恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）

2、 师生共同小结, 完成概括提升

(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；

(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

3、

布置课后作业, 巩固延伸铺垫

(1)课后练习

(2)用数学归纳法证明：

1222232n12n1(n∈N*)时, 其中第二步采用下面的证法：

设n＝k时等式成立, 即1222232k12k1, 则当n＝k＋1时,

1222223k112k122k11．

12k你认为上面的证明正确吗？为什么？

【教学设计说明】

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就

6

注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，运用了在课前利用学案，预习思考三个问题，在课中师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．

（七）、板书设计

数学归纳法及其应用举例

问题一 例题1 问题二

问题三 练习1 数学归纳法定义

证明步骤（1）

（2）

7