1.3 二项式定理（通用）课堂实录

二项式定理教学设计

一、教材分析：

1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

教学目标：

1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析

2、能力目标：在学

3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

一、教学重点，难点，关键：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键：

四川省华蓥中学 段磊

（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；

（2）利用组合的知识归纳二项式系数；

（3）充分利用二项展开式的规律。

二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

三、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

四、教学过程设计

【复习引入：】

复习回顾：

[提问]初中学过的完全平方公式是什么？

你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？

设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

思路一：观察下式：

（a+b）3＝（a+b）（a+b）（a+b）

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由3个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a3的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C30a3，系数为：C30含a2b的项只能由2个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C31a2b，系数为：C31；含a1b2的项只能由1个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C32a1b2，系数C32为；含的ab2的项只能由1个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C32a2b，系数为C32，含b3的项只能由3个括号都取b而得，即C33b3，系数为C33；从而可得：

（a+b）3＝a3+3a2b+3a1b2+3ab2+b3

提问：（a+b）n的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理

（a+b）n＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数Cni（i=1,2,3……,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=C-nkn-kkab（k=1,2,3……n）。说明：

（1）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。

（2）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（3）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（4）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。

例如：（1－x）3的第二项是－C31x，其二项式系数为：

C31，第二项的系数为：－C31。

【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

应用解析：

16例1：求

(2

x



)

的展开式。

x思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 思考4：你能否直接求出展开式常数项？

例2：求（x+a)12的展开式中的倒数第4项？

（学生练习：）

1、求(2x3y)6的展开式的第三项2、求(3y2x)6的展开式的第三项.

3、求(2a-3b)6的展开式的倒数第3项.

【设计意图：】（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；（2）题目着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换。

小结：

根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：

（a+b）n＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

及通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3……n）

（1）注意二项式定理中二项展开式的特征。

（2）区别二项式系数，项的系数。

（3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项

（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

布置作业

课本作业：P36 习题1.3 A组1、2、3

【设计意图：】（1），本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

（2），通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。

五、课后反思

本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：

1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。

3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。