一 比较法精品学案

课题：不等关系——比较大小

教材：普通高中课程标准实验教科书人教版A版选修4--5

授课教师：宁夏石嘴山市第三中学

雍国强

教学目标：

1．知识目标：①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法

②理解不等关系的传递性

③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小

2．能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力；

3．情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度，培养学生热爱家乡的优良品质．

教学重、难点：

教学重点：比较实数大小的方法．

教学难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；

2.比较实数大小方法的实际应用

教学方法：启导法、感性体验法、合作讨论法

教学用具：多媒体、印好的习题纸

教学过程：

(一)创设情境

（幻灯片给出几张庐山的优美图片，激发学生的兴趣）

引入:

庐山以自然景观为载体，以人文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城，以及宗教理趣的光华、千年书院的风采、冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整个人类文明的古今融合、精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒，被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。国庆放假期间，邀上几个朋友一起去了趟庐山，恰好碰到景区推出一套门票优惠方案，具体如下：

庐山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；

优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元. 为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？

学生肯定会问有多少人，教师告诉他们在5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）

人数

5 6 7 方案A 756 900 1044 方案B 750 900 1050 方案选择

B A或B A （学生思考演算并请学生回答结果）

由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）

继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？

若设人数为n，记采用方案A的费用为f(n)，采用方案B的费用为g(n)，则

f(n)144n36，g(n)150n 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）

对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系：

f(n)g(n)f(n)g(n)0n6

f(n)g(n)f(n)g(n)0n6

f(n)g(n)f(n)g(n)0n6

所以 当2n6时，选择方案B; 当

n6时，选择两种方案都一样；

当

n6时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。

归纳小结： 任意两个实数a，b都能比较大小：

如果a－b>0，则a>b;

如果a－b<0，则a

如果a－b=0，则a=b. 要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差a－b与0的大小关系。

以上就是比较两个数（或式）的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很早就已经用过了，请同学们回忆一下哪里用过？（研究函数的单调性的时候，作差）

下面我们再看几个比较大小的例题

(二)范例启迪

（例题由老师重点讲解，结合投影并简单板演示范）

（出示例1）

例1：试比较(x1)(x5)与(x3)2的大小

分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬

解：(1)(x1)(x5)-(x3)2

=(x26x5)-（x26x9）

=-4<0 (x1)(x5)<(x3)2

（出示例2）

例2：比较x23与3x的大小

分析：学生提出作差，但是对结果不容易判定正负，故引导学生向配方的方向走。教师要捕捉学生的闪光点，若有同学说该式子恒大于0，则应追问原因，直到解决这个问题。若用函数观点去看这个问题，顶点在x轴上方，且开口向上，故函数值恒大于0 33解： x23-3x=(x)2>0 24

x23>3x

（出示例3）

例3.当1

分析：学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方31但是学生会得到以下结果：x223x(x)2，发现不能判定正负，教师24正好提醒，既然配方

法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在x轴下方，图象开口向上，所以函数图象与x轴有两个交点，故方程x23x20是有根的，可以将解析式改为两根式表示，即将其因式分解。

解：

x22-3x=(x1)(x2) 10, x2<0

(x1)(x2)<0 x22<3x

例题小结：

差值比较法的一般步骤：1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论

（配方法和因式分解为代数变形的常用方法）

（三）课堂小练

练习2、比较x2x与x2的大小关系

练习3、当x>1时,2x23x与x6的大小

练习1、比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小

比较大小除了差值比较法之外，还有很多其他的方法。

例：如何比较20.3和0.32的大小？

如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导：

（1）20.3和1哪个大？ （2） 0.32与1哪个大？

学生恍然大悟：20.32010.300.32

不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）

若a>b,b>c,则a>c. 例4：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增

加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

分析：例2以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a和b，同时增加的面积为m，根据问题的要求ab，且由于于是

a10%. bamam(ba)0，

bmbb(bm)amaa，又10%，

bmbbama10%

因此

bmb 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了！

结论：一般地，设a，b为正实数，且ab,m0，则

ama

bmb这是一个非常重要的不等式，其意思为：一个正的真分数，当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如123

234这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下： 在一杯不太甜的糖水里加糖，糖水变甜了. 设在bg糖水里有ag糖，此时糖水浓度为度为a，在加入mg糖后，这杯糖水的浓bamaam. ，按照常识可知bmbmb（四）思考交流

（放映芭蕾舞演员的表演视频）

引言中的问题：

为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受？

你们知道黄金分割吗？黄金分割是一个值0.618，一本书的短边长与长边长之比接近0.618时，视觉上要优美一些，而对于人的身材也是一样的。

一个人的身材比例为0.618时是最优美的。一般的人，下半身长x（肚脐眼以下部分）与全身长y的比值xy在0.57-0.6之间，而芭蕾舞演员在演

出时，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长之比由xxy变成mym,这个比值更加接近黄金分割值0.618. 实际的生活中，很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋，其目的就是在追求黄金分割值。

实践作业：请大家回去为自己和家人量一量身材，也许最美的东西就在你身边哦！如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度（是不是越高越好呢）。

人员

下半身长x（cm）

全身长y(cm) 鞋子高度m(cm) xxmy

ym

甲

乙

丙

丁

但是我们作为学生应该追求内在美，不能穿高跟鞋。

请同学们相互讨论：

本节课你学到了哪些知识？

（引导学生归纳本堂课的重要知识，重要方法）

（1）

比较大小的方法：差值比较法；

（2）

不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）；

（3）

比较大小在实际问题中的应用。

课本74页

课后思考交流2以及练习2 （五）回顾与小结（六）布置作业

教学设计说明

现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：

㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”．

㈡引导学生通过同化，顺应掌握新知识。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”

的新天地。

我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯彻教师对本节内容的理解；体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用．