一 比较法教案设计（一等奖）

第二讲

不等式的证明方法（教学设计）

比较法（第一课时）

一、教学目标：

1.

知识与能力目标：了解作差比较法的理论依据，掌握作差法的步骤，能熟练运用作差比较法与证明不等式。

2.

过程与方法目标：讲练结合。

3.

情感态度和价值观目标：培养观察、分析、解决问题的能力及逻辑推理能力，体会教学中所蕴含的哲学思想。锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）

二、教学重点：利用作差法比较两个数的大小、证明不等式。

三、教学难点：灵活应用各种方法对差式进行变形。

四、教学过程：

（一）、复习引入：

师：前面我们已经学习了不等式性质，今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明．

我们来复习一下比较两个实数大小的依据：

生：（生口述，师板书）

abab0

abab0

abab0

师：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差与零的大小关系，这也是作差比较法的理论依据。

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问题引入：

师：你能比较x23与3x的大小吗？

生：x233x

师：如何证明呢？师生共同完成以下证明过程：板书：

（二）、典型例题解析

例1.求证：x233x.

生：作差。

（学生口述，教师板书）

证明：x233x

 =x3x3

233x>0 24师：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比较两个实数大小时曾经用过这种方法．

师：这种证明方法叫做作差比较法

师：求差后，进行等价变形时用的什么方法？

生：配方法．

师：为什么用配方法？

生：因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符

号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．

师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是

配方法．

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注：（1）比较法证明不等式的步骤：作差变形判断符号结论

（2）变形是作差比较法的关键，本题应用配方法来变形，配方

法适合二次三项式。

（学生板演下面练习，然后老师讲评）

22变式：求证：ab2ab1. 证明：a2b22ab1

a2b22a2b2

a1b1

22 a10,b10

22 a1b10

2222 ab2ab1

例2.设a,b都是正数，且ab,求证：a3b3a2bab2。

师：请同学们考虑如何用比较法证明．

（学生口述，教师板书）

证明（一）：ababab

22 abab332ababab

2aba2b22ab

abab

22 abab0

aba,b都是正数， abab20

0

3322即ababab0



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a3b3a2bab2

师：这道题是用什么方法对差式进行等价变形．

生：对差式进行因式分解．

师：这样变形的目的是什么？

生：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．

师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，分解要彻底。

注：变形方法：因式分解法，分解要彻底

学生讨论给出其他证明方法，并且板演，如下面的：

3322ababab证明（二）：3232aabbab 



a2abb2ba

abab

22 abab

2 abab0

2ab0

a,b都是正数，2 abab0

3322即ababab0

3322 ababab

 aabb证明（三）：a332

b3a2bab23

ab

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aabbba22222

a2b2ab

abab

abab0

2ab0

a,b都是正数， abab0

2 即ababab0

ababab

注：变形方法：因式分解法，分解要彻底。

∣0x1，若a,bM,求证：ab1ab.

练习：设Mx33223322证明：ab1ab

aba1b

ab11b

b1a1 a,bM,

a10,b10，

b1a10

ab1ab.

ama例3.已知a,b,m都是正数，并且ab,求证：.

bmb（教师引导提出问题，学生分析回答，教师板书）

amaambabmmba证明：

bbmbmbbbm

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bm0

a,b,m都是正数， ba0

mbaama0，即.

bbmbmb师：这道题又是如何变形的呢？

生：这道题求差后，先通分，然后因式分解，最后判断符号

师板书

注：⑴变形方法：通分，因式分解。

师：强调结论，帮助记忆：

⑵真分数的分子与分母同时加上一个正数，真分数的值会变大。

师：举例子，，等，再由学生自己出题比较。

师：⑶联系生活实际：如果将a克白糖制成b克糖水，则糖水的浓度为，若再往糖水中添加m克白糖，此时糖水的浓度为于糖水变甜，所以ama.

bmb13243759abam，由bm练习：设x0,y0,比较生：xxy与的大小。

x1xy1xxy。

x1xy1师：你的理由是什么？

x生：正的真分数的分子分母同时加正数y，值变大了。

x1探究：甲乙两人同时同地出发，沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲乙两人谁先到达指

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定地点？

师：实际应用问题先读懂题意，设出变量，列出关系式

（生口述，师板书）

解：设从出发点到指定地点的路程是s，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别是t1,t2，依题意有

sst1tt2，

m2ns，2m2n222ssmnt1t，2，

mn2mnt1t22ssmn

mn2mn224mnssmnsm2n22mnsmn

2mnmn2mnmn2mnmnm,n,s都是正数，且mn,t1t20，即t1t2, 所以甲比乙先到达指定地点。

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