2.基本不等式优秀教学设计说课稿

学生教案

基本不等式及其应用

一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力）

ab(a0，b0)，当且仅当____________时，等号成立．

1.ab2ab其中和ab分别称为正数a，b的______________和_______________．

22.基本不等式的重要变形：

a2b2_____________(a，bR)ab_____________；

ab_____________(a，bR)ab_____________．

2ab222ab

2经典例题：下列不等式在a、b>0时一定成立的是________．

2abab2ababa2b2a2b2

（1）≤ab≤≤

（2）ab≤≤≤

ab2ab222ab2ab2ababa2b2a2b2

（3）ab≤≤≤

（4）ab≤≤≤

2abab2223．均值定理

已知x，yR，则：

S2（1）若xyS（和为定值），则当xy时，积xy取得最____值；

4（2）若xyP（积为定值），则当xy时，和xy取得最____值2P．

利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二．题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法)

题组一：利用不等式求最值

例1：求下列各题的最值：

4x的最小值；

x352（2）xR，求f(x)sinx1的最小值；

sin2x14（3）0x，求f(x)x(43x)的最大值；

3（1）x3，求f(x)（4）已知x0,y0,且变式练习：

1．设a,bR，且ab3，则22的最小值是

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ab191,求xy的最小值。

xy

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A．6

B．42

C．22

D．26

2．下列不等式中恒成立的是

A．

x2214x242

B．x2

C．2

D．23x2

xxx22x25B．当x0时,x12

x3．下列结论正确的是

A．当x0且x1时,lgx12

lgxC．当x2时,x11的最小值为2

D．当0x2时,x无最大值

xx4．若x,y是正实数，

则(xy)(1x4)的最小值为

yA．6

B．

9

C．

12

D．

15 5．若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是

A．[9,)

Ｂ．[6,)

C．(0,9]

D．(0,6)

6．设yR，且4y24xyx60，则x的取值范围是

A．3x3

B．2x3

C．x2或x3

D．x3或x2

7．下列函数中最小值是4的是

44

B．ysinx

xsinx123,x0

C．y21x21x

D．yx2x1A．yx8．若关于x的方程9(4a)340有解，则实数a的取值范围是

A．(,8][0,)

B．(,4]

C．(8,4]

D．(,8]

9．已知xxx51，则函数y4x2的最大值

。

44x52a22a110．已知a2，p，q2a4a2则

a2A．pq

B．pq

C．pq

D．pq

11．已知函数f(x)lg(5x4m)的值域为R，则m的取值范围是（ ）

5xA.(4,) B. [4,) C.(,4) D. (,4]

xy12.设x,yR,a1,b1，若ab3，ab23，则11的最大值为

。

xy13．若a＞b＞1，P＝

lgalgb，Q＝lgalgb，R＝lg第- 2 –页

12ab，则P、Q、R的大小关系）2

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是

；

题组二：利用基本不等式解应用题

例2：某造纸厂拟建一座平

面图形为矩形且面积为162平的

三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔

墙建造单价为248池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出总造价；

方米池四元/米,最低（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求

出最低总造价.

变式练习：

1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y(x6)211(xN),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大

2．一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于(v2)km

（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要多20少小时？

3．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需

运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为

4．某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房

子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

25．某校要建一个面积为392 m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

2m6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：y9204m(0)。

2316004m（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千2m辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

7．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米，

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（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内? (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；

(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

8．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

（1）仓库面积S的最大允许值是多少？

（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

8．解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy

依题设，40x245y20xy3200，由基本不等式得

3200240x90y20xy120xy20xy120S20S，

S6S1600，即(S10)(S6)0，故S10，从而S100

所以S的最大允许值是100平方米，

取得此最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米。

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