2.基本不等式优秀获奖教案

平江县第七中学

高二数学◆必修5◆导学案

编写：陈亮

§3.4.1基本不等式学习目标

abab(一)

21.学会推导并掌握基本不等式

2.理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中

的不等号“≥”取等号的条件

※

学习重点、难点：

重点:学会推导并掌握基本不等式

难点:理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件

学习过程

(预习教材P97~ P98,找出疑惑之处)

一.课前导学

※

新知探究

探究一:重要不等式的几何背景

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 将图中的“风车”抽象成如图:

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为____________.这样,正方形的面积为_________,4个直角三角形的面积的和是___________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积,我们就得到了一个不等式:

.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时,正方形EFGH缩为一个点，这时有______________.

新知:重要不等式:对于任意实数a,b,有

探究二:基本不等式的几何背景

思考:上式中,如果a0,b0,我们用a、b分别代替a、b,可得到什么式子?

新知:基本不等式:设a,b(0,),则ab_____ab,当且仅当

时,不等式取等号

2试试:你能给出它的证明吗? 用分析法证明: ab证明:

要证

ab

2只要证

ab

(1) 要证(1),只要证

ab____0

(2) 要证(2),只要证(__________)20

(3)

显然,(3)是成立的.当且仅当a=b时,(3)中的等号成立

ab探究三:理解基本不等式ab的几何意义

2在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形得出ab基本不等式ab的几2何解释吗？

二.课内探究

※

知识检测

91.若x0,求f(x)4x的最小值

x

a2b2____2ab,当且仅当

时,等号成立

试试:你能给出它的证明吗?

1

2017年上学期◆高二

月

日

班级：

姓名：

第三章

不等式

※

能力达标

2.若x0,求f(x)4x9x的最大值

3.当x2时,求x1x的最小值

小结:

※

拓展提高

4.若a0,b0,且ab4,求abba的最小值

三.总结提升

※

学习小结

在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三相等

四.课后作业

1.已知x0,若x＋81x的值最小,则x为（

）

A.81

B.9

C.3

D.16

2.若0a1,0b1且ab,则ab、2ab、2ab、a2b2中最大的一个是

（

）

A.ab

B.2ab

C.2ab

D.a2b2

3.若实数a，b，满足ab2，则3a3b的最小值是

（

）

A.18

B.6

C.23

D.32

4.已知x≠0,当x=_____时，x2＋81x2的值最小，最小值是________. 5.若x0,则f(x)12x3x的最 值为 此时x= . 6.(1)求3x1x(x0)的最小值

(2)求3x1x(x0)的最大值

7.(1)已知m0,求证:24m6m24

(2)已知m0,求证:24m6m24

8.已知x>2,求x-2＋4x－2的最小值

2