2.基本不等式教案设计（一等奖）

《基本不等式》第一课时教学设计

河北峰峰第一中学

索晓慧

一、教学目标

1．知识目标：通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．能力目标：进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

3情感目标：借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

的证明过三、教学过程设计：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b ，Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD是全等三角形，它们的面积和S’=——

问2：中间小正方形的面积为_____ 问3：大正方形的面积S=————

所以大正方形的边长=————

1

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

），考察两通过学生动手操作，探索发现：

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若，则． 若，则．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．

（作差法）：

，当时取等号．

（在该过程中，可发现得出结论，展示课题内容

基本不等式: 的取值可以是全体实数）

2

若若，则，则（当且仅当（当且仅当时，等号成立）

时，等号成立）

深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

3．应用举例，巩固提高

初步应用

1.已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是 _______,此时x=___,y= _____ 2.已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最值．

11的最小值。 3、已知正数x、y满足2x+y=1，求

x所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

y例1、（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

3

例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

4.当堂检测

(1)设x1,x1

变式(1).设x1,x4的最小值是____;x14的最小值是____.x1

(2)设0x1,则函数yx(1x)的最大值是____;

1变式(2).设0x,yx(12x)最大值是____.21.已知，且，求的最小值．

2.设，且，求的最小值．

5．归纳小结，反思提高

基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

四、教学反思

《基本不等式》这节课是在学完了不等式性质、一元二次不等式的基础上对不等式的进

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一步研究，更深层次的展示了不等式与等式的关系，在不等式的证明和最值中有广泛的应用，另外，他还渗透了数学结合等重要的数学思想，是用以培养学生思维的很有利的一节课。在探索基本不等式的过程这一环节上，我采用了让学生去探索发现结论的形式，先展示24届国际数学家大会会标，抽象出赵爽弦图，然后将赵爽弦图和圆内直角三角形的动态图放出来，让学生看着动态图小组合作讨论，用代数方法和几何方法证明基本不等式，这样做的目的是最大限度激发学生的学习动机，争取让学生主动参与进来。引导学生通过观察、概括和归纳，学会从不同的角度探索基本不等式，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，让学生体会数与形的和谐统一，激发学习兴趣和探索精神，另外这样的探究环节使课堂气氛活跃，激发了学生兴趣和学习热情，体现了新课标的要求。

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