3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计及课堂实录

教案

课题

第3课时

三个正数的算术-几何平均不等式

课型

新授课

教学

目标

教学重点

教学难点

教学

过程

一、自主

学习

1．理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．

2．能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题．

三个正数的算术——几何平均不等式

运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题．

教案内容

Ｐ8———

Ｐ9

333

备课

札记

二、质疑

试一试：设a，b，c为正数，证明a＋b＋c≥3abc(当且仅当a＝b＝c时

提问

等号成立)．

三、问题

探究

探究点1 三个正数的算术——几何平均不等式

1．三个正数算术——几何平均不等式

a＋b＋c3当a、b、c∈R＋时，3 abc，当且仅当

时，等号成立，称a＋b＋c3为正数a，b，c的

，abc3

为正数a，b，c的

．

想一想：应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？

2．基本不等式的推广情形

a1＋a2＋…＋an如果a1，a2，…，an为n个正数，则 nna1a2…an，当且仅当 时，等号成立．

题型一

利用三个正数的算术—几何平均不

等式证明不等式

【例1】

设a、b、c∈R＋，求证：

111(1)a2＋b2＋c2(a＋b＋c)2≥27；

1191(2)(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥2. a＋b＋c3【变式1】

已知a，b，c都是正数，求证：3－abc3a＋b. ≥2－ab2

题型二

利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值 【例2】

已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．

π20，【变式2】

求y＝sin xcosx，x∈的最大值

2题型三

平均不等式的实际应用

【例3】

某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n＝1,2,3,4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百221分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：①7，②5，③3，12④2，⑤3，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是(

)．

A．①②

B．①③

C．②③④

D．②⑤

【变式3】

设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为________ cm2.

方法技巧

用平均不等式解应用题

【示例】

已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．

四、课堂

1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是

(

)．

检测

344A．y＝x＋2x＋x3≥3x2·2x·x3＝6，∴ymin＝6 231133B．y＝2＋x＋x≥3·2·x·＝3·2，∴ymin＝32 x1C．y＝2＋x＋x≥4，∴ymin＝4 13x＋1－x＋1－2x38＝，∴

D．y＝x(1－x)·(1－2x)≤33811

2．函数y＝x2·(1－5x)0≤x≤5的最大值为

(

)．

 42A.675

B.657

C.42

D.

645675abc3．已知a，b，c为正数，则b＋c＋a有

(

)．

A．最小值3

B．最大值3 C．最小值2

D．最大值2 14．函数y＝x＋2x2(x＞0)的最小值为________．

五、小结

评价

学生自主学习和小组探究记录：1．利用平均不等式比较代数式的大小及证明简单不等式是常考内容．

2．利用平均不等式求函数的最值以及实际问题中的最值问题，多以客观题的形式进行考查．(难点)