2.基本不等式教学目标设计

1.2基本不等式

一、教学目标

（一）核心素养

通过学习重要不等式a2b22ab推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．

（二）学习目标

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式. 3．能够简单应用定理证明不等式（三）学习重点

均值不等式定理的证明及应用. （四）学习难点

等号成立的条件及解题中的转化技巧.

二．讲授新课

1.复习回顾

重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab，当且仅当________时，等号成立．

基本不等式

(1)定理2：如果a，b>0，那么成立．

(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，

①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最大值，最大值为____．

②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最小值，最小值为______．

由基本不等式变形得到的常见的结论

22a＋b2a＋b≤(1)ab≤2；

2a＋b2________ab，当且仅当________时，等号a＋b(2)ab≤2≤

a2＋b22(a，b∈R＋)；

ba(3)a＋b≥2(a，b同号)；

11(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b∈R＋)；

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2.课前检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a，b的算术平均数是ab，几何平均数是a＋b2.(

) (2)应用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”．(

) (3)若a2＋b2≥2ab对任意a，b恒成立，则a＋b≥2ab也对任意实数a，b恒成立．(

) 2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(

) A．a2＋b2＞2ab

B．a＋b≥2ab

112C．a＋b＞

abbaD．a＋b≥2 3．已知x＞3，则x＋A．2

C．5

4的最小值为(

) x－3B．4 D．7 4．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．

3.新课探究

利用基本不等式证明不等式

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9. 利用基本不等式证明不等式的方法与技巧

(1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．

(2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到。

跟踪练习：

1.已知：a、b、c、d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 2.已知a，b为实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥

2(a＋b＋c)．

利用基本不等式求函数最值

(1)当x＞0时，求f(x)＝2x的值域；

x＋123(2)设0＜x＜2，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；

19(3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy应用基本不等式求最值的步骤

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．

跟踪练习

11.设函数f(x)＝2x＋x－1(x<0)，则f(x)(

) A．有最大值

C．是增函数

112．已知lg x＋lg y＝2，则x＋y的最小值为________．

3．设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

总结：利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．

当堂检测

1．已知正数x，y满足xy＝1，则x2＋y2的最小值为________．

112．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则a＋b的最小值是________．

183．当x＞2时，函数y＝x＋的最小值为________．

2x－14．已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，求x＋y的最小值．

B．有最小值

D．是减函数

课堂小结：

1.正确理解基本不等式的意义，运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、 三相等． 2.灵活应用均值不等式求代数式的最值． 3.构造基本不等式证明一些简单的不等式. 布置作业

课后作业：5.6.7题