2.基本不等式教学设计案例

基本不等式（一）

教材：人教A版必修5第三章第四节

授课教师：湖南省东安县第一中学 罗荣林

一、教学内容解析

内容：基本不等式的发现与证明．

内容解析：

本节课是高中数学人教A版必修5第三章第4节第一课时的内容，。在高中时期，不等式的学习主要分两个阶段：第一阶段的学习安排在必修5第三章，讨论不等式的基本性质、一元二次不等式及其解法、二元一次不等式组及简单的线性规划问题和基本不等式；第二阶段安排在选修4-5“不等式选讲”，对基本不等式的推广、绝对值不等式及其解法、证明不等式的基本方法以及介绍两个经典不等式：柯西不等式和排序不等式。基本不等式在整个不等式的学习中起着承上启下的作用。

“基本不等式”这节内容在教学中安排三个课时，第一课时的内容是基本不等式的发现与证明，理解基本不等式的结构和等号成立的条件；第二课时的内容是利用基本不等式证明简单不等式及求简单的最值问题。第三课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，然后应用基本不等式处理最值问题，并深入理解基本不等式的条件和结构特征。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式的证明过程。

二、教学目标设置

目标：

（1）

通过观察“数学家大会”的会标及赵爽弦图，探究出里面蕴含的相等和不等的数值关系，提炼得到重要不等式，体会数学建模的过程；并从国际数学家大会会标和赵爽弦图的相关背景中，感受数学的文化价值。（数学抽象、数学建模、直观想象）

（2）

通过对剪拼纸片的手工活动中面积大小的直观比较，进一步抽象概括和逻辑推理得到基本不等式，体会活动过程中合作学习的乐趣。（数学抽象、逻辑推理）

（3）

（4）

（5）

通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的三种常用思想方法。（逻辑推理）

理解基本不等式的代数和几何意义，体会数形结合的数学思想方法。（数学抽象、直观想象）

通过例题的分析，初步感知二元变量的函数的概念，以及增加了变量的约束条件会使变量从二元向一元转化的过程。（数学运算、逻辑推理）

目标解析：

教学目标设置的两个特点：一是教学目标的设置都是以数学核心素养的提升为出发点；二是围绕“以生为本”教学理念，在引导学生通过“自主学习”与“合作探究”，掌握基本不等式证明的过程中，以发展数学核心素养为落脚点，培养学生运用数学建模和数形结合的能力。

三、学生学情分析

本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知识，具有良好的图形分析能力和抽象概括能力，他们也已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于基本不等式的多

种代数几何背景的理解及用基本不等式解决二元变量函数的最值问题还有些困难。

教学难点：从不同角度探究基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

四、教学策略分析

本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。

五、教学过程设计

环节一

创设情境，提出问题

活动1：欣赏数学家会标，提炼出里面蕴含的不等关系

素养指向：数学抽象、数据分析

情境

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

探究1：会标中有哪些几何图形？能否从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？

【设计意图】融入数学史，渗透数学的文化价值，通过适度点拨，引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不等式。

思考：你能对重要不等式a2b22ab进行证明吗？等号成立的条件是什么？你能从图形中对“等号成立”进行解释吗？

【设计意图】引导学生从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，增强学生用图“形”表现“数”、用“数”解释图“形”的意识。

环节二

基本不等式的发现与证明

活动2：合作学习，建模探究

素养指向：数学抽象、数学建模、逻辑推理

探究2（操作）：请同学们拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形。假设两个正方形的面积分别是a,b，则两个等腰直角三角形的面积分别ab是,，请跟周围同学讨论一下，如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一22

个分别以a,b为长和宽的矩形，对比该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和，你有什么发现？

【设计意图】采用剪拼纸片的手工活动，从多边形纸片裁剪掉小三角形纸片后得到的矩形纸片面积变小，学生从中发现并提炼出公式化的基本不等式。

活动3：多角度认识基本不等式，深化理解，揭示本质

素养指向：数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象

【定义】通常我们把ab2ab写成把ababa0,b0，称其为基本不等式。其中，2ab叫做两个正数a,b的算术平均数，ab叫做两个正数a,b的几何平均数，当且仅当2ab时，上述等号成立。

ababa0,b0用文字语言如何描述？从数列的角度，还可以怎2问题1：基本不等式么描述？

【设计意图】引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学生对基本不等式结构的认识；进一步从数列的角度分析，加深学生对基本不等式本质的理解，同时也让学生建立起新旧知识之间的联系。

问题2：我们学习了一元二次方程，以a,b为根的一元二次方程是什么？其判别式有什么特点？

【设计意图】通过构造方程并运用判别式大于等于0得到基本不等式，意在沟通等式与不等式之间的联系，发展学生的辩证思维。

问题3：你能否借助已证的重要不等式a2b22ab，分析ab2aba0,b0的成立性吗？

【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现重要不等式a2b22ab与基本不等式ab2aba0,b0的内在联系。

问题4：如图2，取线段ABab，其中ACa,BCb，以AB为直径作O，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD. D （1）

试找出图中哪条线段表示a,b的算术平均值？哪条线段表示a,b的几何平均值？它们分别有什么几何意义呢？

（2）

移动点C在线段AB上的位置（在几何画板上），你有什么

A 结论呢？

O C E B

（3）你能从图中解释基本不等式ababa0,b0等号成立的条件吗？

2【设计意图】借助学生熟悉的平面几何图形，引导学生从几何图形中抽象出基本不等式，使学生体会从形到数的转化，逐步领悟数形结合思想的内涵；设置探究问题，可以促使学生从运动、变化的角度思考问题和解决问题。

活动4：多种方法证明基本不等式

素养指向：数学抽象、逻辑推理

思考：刚才我们得到这个不等式的过程，就是它的几何证明方法，你还能用其它方法证明这个不等式吗？

【设计意图】引导学生运用作差法、分析法、综合法等方法证明基本不等式，让学生了解这些证法的要领和步骤。

环节三

基本不等式的应用

活动5：完成相关练习，加深对基本不等式的理解

素养指向：数学运算、逻辑推理

问题5：由基本不等式出发，你还能推导出哪些结论？

【设计意图】引导学生根据刚学的不等式的性质和已推出的结论导出更多的结论，一方面可以促使学生对公式的灵活应用，为后续的不等式的证明教学做铺垫；另一方面，创造机会可以让学生进行发散性思维的训练，有助于学生的探究、创新、逻辑论证能力的提升。

例：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？

【设计意图】体现基本不等式的实际运用，让学生感受到数学来源于生活，服务于生活。

课堂小结：

1、

知识内容：

一个公式、两个概念、三类语言、四种证法。

ababa0,b0

2ab两个概念：算术平均数，几何平均数ab

2一个公式：三类语言：符号语言、文字语言、图形语言

四种证法：比较法、分析法、综合法、几何法

2、

数学思想：数学建模、数形结合

作业布置：

课堂作业：教材第100页习题A组的第1,2题

课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其他代数几何证明方法，整理并相互交流。

【设计意图】课堂作业加深学生对基本不等式的理解和应用，课后作业拓展学生思维，培养其数形结合的能力。

六、课堂教学目标检测设计

检教学目标

检测内容

测形式

1、通过观察“数学家大会”的会标及赵爽弦图，探究出里面蕴含的相等和不等的数值关系，提炼得到重要不等式，体会数学建模的过程；并从国际数学家大会会标和赵爽弦图的相关背景中，感受数学的文化价值。

1、通过对两张大小不同的正方形纸片裁剪和折叠，构造出2、通过对剪拼纸片的手工活动中面积大小的直观比较，进一步抽象概括和逻辑推理得到基本不等式，体会活动过程中合作学习的乐趣。

3、分析等号成立时的图形特点。

2、找出剪折前两个等腰三角形的面积和与剪折后的矩形面积的大小关系

100% 活动参与

分别以a,b为长和宽的矩形。

课堂回答

找到数学家会标图案中的相等关系和不等关系

课堂回答

书面检测

100% 量化要求

课堂3、通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的三种常用思想方法。

分析出分析法、综合法、比较法三个方法各自的特点

回答

100%

4、理解基本不等式的代数和几何意义，体会数形结合的数学思想方法。

将基本不等式用文字语言、图形语言描述出来

课堂回答

100%

5、通过例题的分析，初步感知二元变量的函数的概念，以及增加了变量的约束条件会使变量从二元向一元转化的过程。

课后作业 运用基本不等式解决例题中的问题

课后回答

书面检测

100%