2.基本不等式名师课堂实录

1.1.2 基本不等式

一、教学目标

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．

3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

二、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式)．

三、教学难点

掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

四、教学过程

（一）导入新课

11已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为______．

xy【解析】

∵lg x＋lg y＝2，

∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，

11∴＋≥2xy11＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

xy51【答案】

5（二）讲授新课

教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

1．两个定理

定理

定理1

内容

a2＋b2≥

(a，b∈R)

等号成立的条件

当且仅当

时，等号成立

定理2

网][来源学§科§a＋b≥

(a，b＞0)

2当且仅当

时，等号成立

2.算术平均与几何平均

如果a，b都是正数，我们称

为a，b的算术平均，

为a，b的几何平均．

教材整理2

利用基本不等式求最值

已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是

，那么当且仅当

时，S取得最小值

；

(2)如果S是

，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值

. （三）重难点精讲

题型一、利用基本不等式求最值

y2例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

xzy2【精彩点拨】

由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，xz求出最小值，但要注意等号取到的条件．

x＋3z【自主解答】

由x－2y＋3z＝0，得y＝，222y2x＋9z＋6xz1x9z∴＝＝z＋x＋6

xz4xz4[来源学§科§网Z§X§X§K]

1≥24x9z·＋6＝3. zxy2当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3. xz【答案】

3 规律总结：

1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．

2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．

[再练一题] 192．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值. xy19【解】

∵x>0，y>0，且＋＝1，

xy19∴x＋y＝(x＋y)x＋y

y9x＝＋＋10≥2xyy9x·＋10＝16. xyy9x当且仅当＝，即y＝3x时等号成立．

xy19又＋＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. xy

题型二、利用基本不等式证明不等式

a2b2c2例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. bca【精彩点拨】

观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

【自主解答】

∵a>0，b>0，c>0，

a2∴＋b≥2 ba2·b＝2a，

bb2c2同理：＋c≥2b，＋a≥2c. ca三式相加得：

a2b2c2＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，

bcaa2b2c2∴＋＋≥a＋b＋c. bca规律总结：

1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．

2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

[再练一题] xyz1111．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.yzzxxyxyz【证明】

∵x，y，z都是正数，

xy1xy2＋≥. ∴＋＝yzzxzyxzyz2zx2同理可得＋≥，＋≥. zxxyxxyyzy将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

xyz111得＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz（四）归纳小结

[来源学科网ZXXK]

—定理的理解—证明不等式基本不等式——求最值—实际应用

（五）随堂检测

1．下列结论中不正确的是(

) 1baA．a＞0时，a＋≥2

B.＋≥2

aaba＋b2C．a＋b≥2ab

D.a＋b≥

22222【解析】

选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a＋b2baa＋b≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的2ab22条件．

【答案】

B 2．下列各式中，最小值等于2的是(

) x2＋5xyA.＋

B.2

yxx＋41－C．tan θ＋

D.2x＋2x

tan θ【解析】

∵2x＞0,2x＞0，∴2x＋2x≥22x·2x＝2，当且仅当2x＝2x，即x＝0时，－－－－等号成立．故选D. 【答案】

D 533．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(

) xyA．15

B．6

C．60

D.1 53【解析】

∵＋≥2xy∴215(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，

xy15≤1，∴xy≥60，

xy故xy的最小值为60. 【答案】

C 六、板书设计

1.1.2基本不等式

教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

1．两个定理

2.算术平均与几何平均

例3：

例4：

例1：

例2：

学生板演练习