二 用数学归纳法证明不等式优质课教案

学习目标

1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．

知识点

用数学归纳法证明不等式

思考1

用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？

思考2

证明不等式与证明等式有什么不同？

梳理

(1)利用数学归纳法证明不等式

在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如________、________、________、________等结合进行．

(2)贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有__________________．

(3)贝努利不等式的推广

事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，仍有类似不等式成立．

①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；

②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．

类型一

数学归纳法与放缩法结合证明不等式

n111例1

用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋n(n∈N＋)．

2232

反思与感悟

在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．

111跟踪训练1

用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n＜n(n∈N＋，n＞1)．

232－1

类型二

利用数学归纳法证明数列不等式

1例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

21(1)判断S是否为等差数列，并证明你的结论；

n1221(2)证明：S2(n≥1且n∈N＋)．

1＋S2＋…＋Sn≤－24n

反思与感悟

(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础．

(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．

1跟踪训练2

设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜anan＜

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(

) A．n＝1

C．n＝3

2．用数学归纳法证明“Sn＝1A.

211C.＋

23B．n＝2 D．n＝4 1111＋＋＋…＋2＞1(n∈N＋)”时，S1等于(

) n＋1n＋2n＋3n＋31B.

4111D.＋＋

2341. 1－a111113．用数学归纳法证明2＋2＋…＋.假设当n＝k时，不等式成立，则当n2＞－23n＋12n＋2＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．

4．用数学归纳法证明：2n＋2＞n2，n∈N＋.

数学归纳法证明不等式的技巧

(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．

(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．

答案精析

问题导学

知识点

思考1

(1)归纳奠基：验证初始值．

(2)归纳递推：在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．

思考2

证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”．

梳理

(1)比较法

分析法

综合法

放缩法

(2)(1＋x)n＞1＋nx

题型探究

例1

证明

(1)当n＝1时，

1133左边＝1＋，右边＝1＋，≤，

2222所以不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，

k111即1＋≤1＋＋＋…＋k成立，

2232则当n＝k＋1时，

11111k111＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1≥1＋＋k＋…＋k

2322＋122＋122＋2kk11k＞1＋＋kk＋…＋kk2个

22＋22＋2k1＝1＋＋2k·k＋1

22k＋1＝1＋. 2即当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)可知，对所有n∈N＋不等式都成立．

11跟踪训练1

证明

(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边＜右边，

23不等式成立．

(2)假设当n＝k时，不等式成立，

111即1＋＋＋…＋k

232－1111111则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1

232－122＋12－1

1×2k111

22＋122－1所以当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．

1例2

(1)解

S是等差数列，证明如下：

n11S1＝a1＝，所以＝2. 2S1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 1111所以－＝2.故S是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n. SnSn－1Snn111(2)证明

①当n＝1时，S2，不等式成立．

1＝＝－424×1②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，

1221即S21＋S2＋…＋Sk≤－成立，

24k则当n＝k＋1时，

1111111222S2] 2＝－[－1＋S2＋…＋Sk＋Sk＋1≤－＋24k4k＋124kk＋122211k＋k＋111k＋k11＝－·. 2＜－·2＝－24kk＋124kk＋124k＋1即当n＝k＋1时，不等式成立．

由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立．

跟踪训练2

证明

(1)当n＝1时，

1a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．

1－a(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，

1即1＜ak＜. 1－a当n＝k＋1时，由递推公式知，

1ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. ak1－a211同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，故当n＝k＋1时，命题也成立，

ak1－a1－a1即1＜ak＋1＜. 1－a综合(1)(2)可知，对一切正整数n，

1有1＜an＜. 1－a

当堂训练

1．C

2.D 1111113.2＋2＋…＋

2＋2＞－23k＋1k＋22k＋34．证明

(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边＞右边；

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，

右边＝32＝9，所以左边＞右边．

因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2. 当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2(因为k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)．

所以2k1＋2＞(k＋1)2. ＋故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

由(1)(2)知，原不等式对任何n∈N＋都成立．