2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率优秀教学设计

教学设计：直线的倾斜角与斜率

通城一中

吴淑芬

1.

教学目标及重难点

1.1教学目标

（1）了解解析几何的诞生，初步认识用代数方法研究几何问题的含义。

（2）通过对直线的倾斜角与斜率关系的推导过程，发展学生由形到数的抽象概括能力。

（3）由直线倾斜角的变化和斜率的变化之间的联系，培养学生由形入数，由数到形的推理能力。

1.2教学重点

（1）直线倾斜角的概念与直线斜率的概念。

（2）两点的斜率公式。

1.3教学难点

（1）两点斜率公式的推导。

（2）倾斜角的变化与斜率的变化之间的联系。

2.

教学过程

2.1新课引入

由教师逐步提出以下问题，引出课题

（1）

我们接触过很多平面几何问题，比如证明平行、垂直、相似、全等和解三角形等系列问题，我们有哪些方法可以解决这些问题呢？

（2）

感觉这些方法是不是足够我们解决几何问题呢？

（3）

法国数学家笛卡尔认为几何图形都是由点组成的，如果把几何图形放入平面直角坐标系中，点就可以用坐标表示，再通过已知条件得到点的横轴坐标关系式即代数方程，最后由代数方法研究几何问题。

（4）

最简单的几何图形是直线，这节课我们就来看看如何用代数方法研究直线（板书课题）。

2.2探究新知

2.2.1直线的倾斜角

问题1：平面直角坐标系中有无数条直线，大家观察图1中各直线有什么不同？

学生：倾斜程度不同。

y

教师：可以用什么来刻画直线的倾斜程度呢？

学生：可以用角度来刻画。

老师：我们以x轴为参照来刻画这个角度（投影以下）

1.直线的倾斜角

o x

当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向

图1

之间所成的角叫做直线l的倾斜角；

当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0。

教师：根据以上定义，倾斜角的范围是多少呢？

学生：0，

2.2.2 直线的斜率

教师：用倾斜角刻画直线的倾斜程度还是比较倾向于几何图形的，我们说解析

几何是以通过研究坐标来研究几何图形，而两点可以确定一条直线，那么直线

的倾斜程度与两个点的坐标之间有什么关系呢？

y

1问题2：如图2所示，直线l上两点P1x1,y1,P2x2,y2, 那么点P1,P2的坐标与倾斜角之间有什么关系呢? P1

y2P2

教师:一般是如何求角呢? o

学生:先求角的某个三角函数值. 图2

教师:怎样求角的三角函数值呢?

学生:构造直角三角形,在直角三角形中求角的三角函数值.

教师:构造怎样的直角三角形,会涉及到角和点P1,P2呢?

学生:作如图3所示的直角三角形

tany x2

x1x1

x y1

y2

P2

P1

Q P1QP2Qy1y2

x1x2P1QP1P2y1y2o x2

图3 x1

教师:为什么求tan,而不是求sin或cos呢?

学生:因为sinx x1x2y1y222，这个式子比较麻烦，不简洁。

教师：这也再次体现了数学的简洁美！

教师：如图4，如果倾斜角为钝角，上式还会成立吗？

学生：是一样的

P2

Q y y2

tantan()tan

P1

y1

P2QP1Qy2y1y2y1y1y2

x1x2x2x1x1x2

教师：怎样记住这个式子呢？

x2x1

如图4 O x

学生：如果分母上点P1的横坐标是被减数，则分子上点P1的坐标也是被减数；

如果分母上点P2的横坐标是被减数，则分子上点P2的坐标也是被减数。

教师：如图5，若倾斜角为

学生：不成立，无意义。

教师：所以我们有

yy

当x1x2时，tan12；

x1x2，即x1x2时，上式成立吗？

2y

P（1x1,y1)

P（2x2,y2)o x 如图5

当x1x2时，tan无意义。

教师：我们把tan叫做直线的斜率，常用字母k表示，即k=tan

2.直线的斜率：倾斜角的正切值



教师：倾斜角可不可以是呢？

2

学生：可以



教师：但=时，k等于多少呢？

2

学生：无意义，不存在。

教师：也就是说

0，，

tan

22

k=



不存在



2

教师：下面我们来牛刀小试一下

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率30，45，1202.已知A（3，2），B（—4，1），C（0，—1）求直线AB、直线BC、直线AC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

2.2.3直线的倾斜角与斜率

教师：由哪些条件可以求斜率？

学生：由倾斜角可以求斜率；由两个点的坐标可以求斜率

教师：由题2我们发现倾斜角为锐角，则斜率大于0，反之亦然；倾斜角为钝角，则斜率小于0，反之亦然。为什么会有这种联系？

问题3：直线的倾斜角与斜率k之间有什么关系呢？

学生：由正切函数的图像可知

k

倾斜角由0变大到时，斜率k由0增大到；2

倾斜角时，斜率k不存在；

2o 

2

倾斜角由变大到时，斜率k由增大到0. 2（学生边说，教师边板书，然后用超级画板动画演示变化过程）

教师：能不能回到直角坐标系下的直线图形中，动态地印证一下倾斜角变大时，斜率的变化过程呢？

（教师用超级画板动画演示倾斜角变大过程中，斜率的变化，最后归纳出以下结论）

k越大，直线越陡峭

教师：下面来用结论练一练

3.如图所示，直线l1、l2、l3、l4的倾斜角分别为1、2、3、4,斜率分别为k1、k2、k3、k4，则它们之间的大小关系是

y 学生：1234

l4

k3k4k1k2

2.3 课堂小结

教师：现在我们来共同回顾本节课有哪些收获？

（教师引导学生归纳如下）

（1）直线倾斜角的定义及范围；（几何）

（2）直线斜率的定义及两点斜率公式；（由几何到代数）

（3）倾斜角与斜率的关系；（由代数到几何）

（4）数学思想方法：数形结合思想，分类讨论思想。

2.5 布置作业

见作业设计

l3

l2

l1

o x