1.2.1 平面的基本性质与推论第二课时教学设计

《平面》教学设计

简阳市石桥中学

陈茂莲

一、课题

1.2.1平面

二、教学目标

1、知识与技能

①

理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质

②

熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换

③

掌握三条公理，并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系

2、过程与方法

①

通过三种语言的学习，培养学生分析问题的能力，作图能力以及空间想象能力

②

学生亲历两条公理归纳过程，学会利用已有的知识与经验归纳新的知识

3、情感态度与价值观

通过语言、符号、图形的转换，使学生体会到数学的乐趣，激发其学习数学的兴趣

三、课型

新授课

四、课时

第一课时

五、教学重难点

④

重点：文字语言、图形语言、符号语言转换，运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系

难点：文字语言、图形语言、符号语言转换

六、教学过程

1、新课引入

师：观察我们生活中常见的物体（课桌面、黑板面、海平面），你能总结出它们的共同特点吗？

生：它们都是平的。

师：非常好，那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢？

（设计意图：通过生活中的实际例子出发，提出问题，引发思考，导入新课）

2、教授新课

生：...... 师：几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的，但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分，不可度量。

师：下面请同学们做一道小练习：

①

10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；

②

有一个平面的长是50m，宽是20m；

③

黑板面是平面；

④

平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象数学概念。

其中正确的说法是

师：那么我们应该如何画平面呢？

生：...... 师：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°.

且横边长等于其邻边长的2倍，如图所示。

师：如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图所示。

师：同学们还要注意到，在表示平面时，我们常把希腊字母α，β，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图所示；当然也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，即：平面α，平面ABCD，平面AC。

师：我们可以这样理解：点动成线，线动成面。直线与平面都可以看成是点的集合。那么，一个点在直线上，或者在平面内应该如何表示呢？

生：......

师：直线与平面都可以看成是点的集合，那么点与直线或者平面的关系就可以看成是元素与集合之间的关系，而直线与平面之间的位置关系可以看成是集合与集合之间的关系。下表是分别用三种语言表示点与直线、平面之间的位置关系。

文字语言

点P在直线l上（或直线l经过点P）

图形语言

符号语言

Pl

点P在直线l外（或直线l不经过点P）

Pl

点A在平面α内（或平面α经过点A）

Aα

点A在平面α外（或平面α不经过点A）

Aα

师：接下来请同学们思考一下直线与平面有哪些位置关系？

生：......

师：刚才我们说了直线与平面都是点组成的集合，所以如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说直线l经过平面α，记作lα；否则，就说直线l在平面α外，记作lα。

那么我们应该如何保证直线l上的所有点都在平面α内呢？

生：......

师：接下来请同学们思考一下，如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l上的所有点是否都在在平面α内？（可以让学生利用直尺与桌面动手操作）

生：不在

师：那如果直线l与平面α有两个公共点呢？

生：在

师：下表所示就是我们刚才所讨论的直线与平面之间的位置关系。

文字语言

图形语言

符号语言

直线l在平面α外（直线l平行于平面α内）

l‖α

lα

直线l与平面α相交

l∩α=A

直线l在平面α内（直线l经过平面α）

lα

（设计意图：通过提问，引导学生思考，以表格的形式分别用三种语言表示点与直线、平面以及直线与平面之间的位置关系，直观具体，帮助学生熟练掌握三种语言）

师：我们前面讨论所得的结果就是公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。用符号语言表示就是：Al，Bl，且Aα，Bα，lα。

师：公理1可以用来判断直线是否在平面内。（停顿）现在请同学们判断如下图所示的直线与平面是什么关系？

师：相信同学们都见过这样的现象：三角架可以牢固地支撑相机或测量仪的平板等等。这些事实可以归纳为如下的公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。用符号语言表示就是：A，B，C三点不共线，则存在唯一的平面α使A，B，Cα。这条公理刻画了平面特有的基本性质，同时它也给出了确定一个平面的依据。

师：下面是公理2的几条推论：

文字语言

图形语言

符号语言

已知点A和直线l，且Al，则存在唯一的平面α，使Aα，

且lα

已知直线l和直线l′相交于点O，则存在唯一的平面α，使

lα，l′α

已知直线l平行于直线l′，则存在唯一的

平面α，使lα，l′α

推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面

师：如图所示，不在一条直线上的三点A、B、C所确定的平面，可以记成平面ABC。

师：请同学们思考一下，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与课桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？

生：...... 师：观察如图所示的长方体，并思考两个平面相交应该是什么？

生：两个平面相交成直线。

师：非常好，我们把这条直线叫作两个平面的交线。

师：我们由此可以归纳得到公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过改点的公共直线。用符号语言表示就是：Pα，且Pβα∩β=l，且Pl。

师：现在请同学们仿照前面的方式将这三条公理用图形语言表示出来。

生：...... （设计意图：先将三个公理的内容及符号语言展示出来，然后让学生自己用图形语言表示三个公理，一方面帮助学生掌握三条公理，另一方面锻炼学生用图形语言表示点、线、面之间的位置关系，熟悉图形语言）

3、例题练习

（1）例1、例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B 都在直线 a上；

（2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平

面α内且平行于直线 m.

（设计意图：通过具体例题的练习，熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言及其相互转换）



aA

B

l

aP

l



b

（设计意图：通过本例，将平面中的图形语言和符号语言、文字语言有机结合，同时考查对平面性质及其推论的理解）

4、课堂小结：

本课是1.2.1的第一课时，主要讲解了平面的概念和表示方法，推导了平面的基本性质和几个推论。

七、课后作业：

（1）P56习题2.1A组 1，2，3（1）（2）

（2）补充

1、A为直线m 上的点，又点A不在平面

α

内，则 m 与

α

的公共点最多有 _______个.

2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面