二 综合法与分析法优质课教案设计

选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法

姓名 ☆学习目标：

1. 理解并掌握综合法与分析法;

2. 会利用综合法和分析法证明不等式

☻知识情景：

1.

基本不等式：

10.

如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立.

ab20. 如果a,bR, 那么ab. 当且仅当ab时, 等号成立.

230. 如果a,b,cR, 那么abc3322abc, 当且仅当abc时, 等号成立.

22 2.均值不等式：如果a,bR,那么

2ab,ab,ab,ab的大小关系是：

ab22 

常用推论：10.

a20; a0;

a 20. 12(a0); aab2(ab0); baacb0 3. (a,b,cR).

bac 3.不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

20.

综合法和分析法．

3.

反证法、换元法、放缩法

0☆案例学习：

综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.

又叫由

导

法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB

例1 已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证:(1a1)(1a2)(1an)2n

- 1 -

分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.

这是一种执

索

的思考和证明方法.

BB1B2BnA

用分析法证明不等式的逻辑关系：

结 (步步寻求不等式 已

论 成立的充分条件) 知

例3

求证

:2736

a2b2b2c2c2a2例4 已知a,b,c0,求证:abcabc

例5 证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.

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选修4-5练习 §2.1.21、已知x0,y0,xy,求证

不等式的证明(2) 姓名 114.

xyxy

2、已知ab0,

求证abab.

3、已知a0,b0.求证：（1）(ab)(a1b1)4.（2）(ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

4、已知a,b,c,d都是正数。求证：

（1）

abcdabcd4abcd;

（2）abcd.

24

- 3 -

5、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.

6

a,b,c是互不相等的正数，且abc1. 求证:(1ab)(1bc)(1ca)27．

7 已知a，b，m都是正数，并且ab.分别用综合法与分析法求证:ama.．

bmb

8设a0,b0，分别用综合法与分析法求证:

a3b3a2bab2.

9（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,),求证：ab(ab),指出等号成立的条件；

xyxy222

（2）利用（1）的结论求函数f(x)29(x(0,1))的最小值，指出取最小值时x的值．

2x12x

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答案: 例1 证明: b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc

c2a22ac,b0,b(c2a2)2abc

a2b22ab,c0,c(a2b2)2abc

由于a,b,c不全相等,所以上述三个式子中至少有一个不

取等号,把它们相加得 a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2

证明: a1R,1a12a1,

同理1a22a2,,1an2an

a1,a2,,anR,由不等式的性质,得

(1a1)(1a2)(1an)2na1a2an2n.

ai1时,1ai2ai取等号,

所以原式在a1a2an1时取等号.

例3 证明: 27和36都是正数,

所以要证2736,

只需证(27)2(36)2,

展开得92149218,只需证1418,只需证1418,1418成立,所以2736成立.例4 分析:要证的不等式可化为

a2b2b2c2c2a2abc(abc)

观察上式,左边各项是两个字母的平方之积,

右边各项涉及三个字母,可以考虑用

x2(y2z2)2x2yz

证明: b2c22bc,a20,a2(b2c2)2a2bc

c2a22ac,b20,b2(c2a2)2b2ac

a2b22ab,c20,c2(a2b2)2c2ab

2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2b2ac2c2ab

222222abbccaabc(abc)

1

又a,b,c0,abc0,0,abc

a2b2b2c2c2a2

故abcabc例5

证明

（1）(a2b2)(c2d2)(acbd)20

（2）

a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0

（3）

- 5 -



b2c2a2d22abcd0

（4）



(bcad)20

（5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

练习

6 ∵

a,b,c是互不相等的正数，且abc1

∴

1ab33ab,1bc33bc,1ca33ca

2

∴(1ab)(1bc)(1ca)273(abc)27

7 证法一

要证（1），只需证b(am)a(bm)

（2）

要证（2），只需证bmam

（3）

要证（3），只需证ba

（4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二

因为

ba,m是正数，所以bmam

两边同时加上ab得b(am)a(bm)

两边同时除以正数b(bm)得（1）。

8证法一

分析法

要证ababab成立. 只需证(ab)(aabb)ab(ab)成立，

又因ab0，

只需证aabbab成立，

又需证a2abb0成立，

即需证(ab)0成立. 而(ab)0显然成立. 由此命题得证。

证法二

综合法

(ab)0a2abb0aabbab

22222222222332222

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注意到a0,b0，即ab0，

由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，

从而ababab成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

3322a2b2yxyx9（1）()(xy)a2b2a2b2a2b22a2b2(ab)2，

xyxyxyxaba2b2(ab)22y

故．当且仅当ab2，即时上式取等号；

xyxyxyxy2232(23)2

⑵由⑴得f(x)25．

2x12x2x(12x)

当且仅当231，即x时上式取最小值，即[f(x)]min25．

2x12x5

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