一 数学归纳法第二课时教学实录

数学归纳法

长治十六中 郭丽花

教材、教法分析

数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修4-5第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。

学生通过推理与证明前两节的学习，已基本掌握归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯了对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化。结合教学内容特点，本课主要采用“探究式学习法”进行教学。

教学目标

根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标。

1.知识目标 （1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一

般结论未必正确。

（2）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整

数有关的命题．

2.能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学

生学习的兴趣和课堂效率．

教学重难点

根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：

1.重

点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难

点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

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教学过程：

一、创设问题情景

师：本节课我们学习《数学归纳法》（板书）。在本章第一节我们学习了合情推理与演绎推理，下面请同学们思考一下，“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过合情推理还是通过演绎推理得到的？

生：“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的，不完全归纳法是合情推理。

师：由合情推理得到的结论是否一定正确？

生：教科书上明确指出：由合情推理得出的结论未必正确。

师：回答的很好，不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分，因此推理所得的结论不一定正确（顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发现三种并非全黑的乌鸦，在日本也发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦），但是它具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用，在数学上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论的。

师：我们先来探究下面一个问题：

数列{an}中a11，a22，an2an1an，求a2011；

生：写出数列{an}前几项，观察可知{an}是周期为6的周期数列，所以

a2011=a1=1。

师：很好。本题是观察数列{an}前几项，归纳出一般的规律，再由一般的规律写出a2011。我们再来探究一个问题：

已知数列{an}的通项公式为an(n25n5)2n1，学生分别计算a1、a2、a3、a4的值，猜想an的值，并计算a5的值。

a33， 生甲：a11，由此可猜想an=n。

a22，a44， 生乙：甲的猜想不正确，因为a55。

师：乙的回答是正确的，本题也是观察数列{an}前几项，归纳出一般的规律，再由一般的规律写出a5，但结论是错误的。总结：通过前面两个例子，使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论，因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。现在请同学们想一想，在以前给出的数学公式中，有没有用不完全归纳法得出的？

生：有。例如等差数列通项公式的推导。

师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，

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a3a12d，a4a13d，……归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，又因为正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？

二、设置问题，引导探究

师：同学们小时侯放过鞭炮没有？

生：（没）放过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）

师：无论放过还是没放过，相信同学们对放鞭炮都很熟悉，下面请思考：点燃一盘鞭炮后，满足什么条件，一盘鞭炮可以全部响？

生：若前一个响，则后一个也响

师：这样就保证了可以递推下去，鞭炮就可以全部响了，是吗？

生：不是。若第一个鞭炮不响，则一盘鞭炮也不会全部响，所以，还要有一个条件：第一个炮要响。

师：大家说有了这两个条件，点燃一盘鞭炮后鞭炮是不是可以全部响呢？

生：是。

师：上面的同学说得很好，要使一盘鞭炮全部响应满足两个条件，第一个条件是：第一个炮要响；第二个条件是：若前一个响，则后一个也响，该条件可转化为：假设第k个炮响张，第k1个炮一定响。

学生类比鞭炮全响的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。

（1）n取第一个值n0(例如

n01)时命题成立; （2）假设 n=k(kN*,kn0)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。

满足这两个条件后，命题对一切nN*均成立。

现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？

三．方法尝试

（学生共答，教师板书）

证明：（1）当n1时，左边a1，右边a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？

生：由aka1(k1)d可得

ak1a1(k1)1d。

师：看来nk1时等式也成立，这样做对吗？

生：（齐答）不对。

师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在第二步，而这一步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，证明“证nk1时命题也成立”。这里容易出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此命题成立，从而得出原命题成立的结论。下面请同学们给

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出正确的证明过程。（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？

生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立……所以n取任何正整数等式都成立。

师：我再补充一点：完成第一步、第二步后，必须要下结论，其格式为：根据⑴⑵可知公式对任意nN*都成立. 四、理解升华

师：上面这种证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。

学生交流后，共同总结，教师板书：

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kN*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题时，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。

师：回答的很好，我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能断定命题成立. 五、数学归纳法的应用

师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论未必可靠，因而必须作出证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1：用数学归纳法证明：1352n1n2

本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。

教师主要引导学生参与讨论的内容是：

1 当nk1时，证明的目标是什么？

2 当nk1时，能否这样证明：

135135(2k1)2(k1)1(2k1)(2k1)

1(2k1)(k1)2(k1)2

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an(n∈N*), 先计算a2，a3，a4的值，再1an推测通项an的公式, 最后证明你的结论．

本例要求学生先猜想后证明，意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并一步熟悉数学归纳法。教学中可先让学生思考3分钟，然后让两位学生在黑板上板书解题过程，最后师生共同分析两位学生的解法。

六、小结（师生共同完成）

1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。

2数学归纳法证明命题的两个步骤。

3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。

4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。

5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。

七、布置作业

选修2-2第96页习题2.3 A组

八、课后反思

教案中放鞭炮的例子，在教科书中原为多米诺骨牌游戏，由于农村学生对这种游戏比较陌生，结合本校学生实际换成放鞭炮的例子，通过这个例子引发了学生的求知欲望，从教学效果来看还不错。

例2：在数列{an}中, a1＝1, an1

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