1.3 二项式定理（通用）教学设计内容推荐

《二项式定理》教学设计

张

婷

一、教学内容解析

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，本节内容在计数原理之后学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是为学习随机变量及其分布列作准备，二项式定理起着承上启下的作用，同时也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具。另外由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，进一步深化对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识，有着非常重要的地位，是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙。

根据课标要求，分析教学重点与难点。

重点：

1、用两个计数原理分析（a+b）的展开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明；

2、掌握二项展开式的通项公式；

3、能应用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

难点：用两个计数原理分析（a+b）的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

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二、教学目标设置

“课标”的“内容与要求”中规定：能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标: 1、知识与技能

（1）理解并掌握二项式定理，能用计数原理证明二项式定理。

（2）掌握二项展开式的通项公式，能区分二项式系数与项的系数，并能运用二项式定理解决一些简单的问题。 2、过程与方法

通过经历二项式定理的探究过程, 培养学生观察、归纳、类比、猜想及证明的探究能力，体验归纳-猜想-论证的思想方法。 3、情感、态度与价值观

通过对二项展开式的探究，体验数学发现和创造的历程，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。

三、学生学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经掌握了相应的基础知识，能够很好的从计数原理

的角度理解 (a+b)的展开式。

但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，在数学学习过程中,大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其探究过程。有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好，对于组合数的计算还存在问题，需要进一步的加强练习，提高计算能力。

二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。由于本班同学基础比较差，同学们性格内向的居多，课堂表现欲不强，因此在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神。

四、教学策略分析

为了提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，通过数学史小故事-牛顿发现二项式定理引出课题。

结合教学目标和学情分析，在教学过程中采用问题引导方式来组织课堂教学，教师采用“启发式教学法”，让学习通过“探究式学习”突破教学重难点，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，并利用多媒体辅助教学。 2

在教学过程中，通过二项式定理的发现与证明，让学生体会归纳-猜想-论证的思想方法，体验数学发现和创造的历程，从而提高数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展数学应用意识和创新意识。

针对不同认知基础的学生学习，课堂检测题设计有基础题、提高题，并且让学生参与检测题的设计，从而达到知识的整合，通过相应的练习反馈学生学习的效果，为课后教学反思做铺垫。

五、教学过程

教学教师行为

环节

把二项式定理发现的历史融入新课导入，既创设介绍牛顿关于二项式了解二项式定理的能引起学生的情境

定理的故事，二项式发现历史，明确本兴趣，还能展现引入定理，又称牛顿二项节课课题

课题

式定理。

值，让学生树立学好数学的信心。

数学的文化价学生行为

设计意图

在学习目标的明确明确本节课的学习指导下，学生有学习目标

节知识

探究归纳

形成提出问题

(a+b)2=?

(a+b)3=? (a+b)4=? (a+b)10=?，

…

问题引入，学生展示学习目标

目标

方向的学习本计算(a+b)2，(a+b)3，通过已有多项(a+b)4发现次数越式的乘法法则大，展开式的形式计算发现展开越复杂

式形式复杂，尝试换一种方法计算。

(a+b)n的展开式是什

么? 回顾两个计数原

理、排列组合的相关根据计数原理分析引导学生用计定理

知识，对(a+b)2的展开展开式有2*2=4项

数原理分析展

式进行分析，由多项项的形式有a2、ab、开式

式的乘法可得

b2

(a+b)2=（a+b）（a+b）每一项的系数可由让学生顺畅的问题：

1由计数原理可得

（a+b）（a+b）的展开(a+b)2= C20

a2+C21ab+ 式有几项？

C22b2 组合数确定

抓住展开过程的两个要点,即项的结构和项的系数,才能让

探究归纳

形成2展开式的项的形式类比上述过程，学学生有目的的有哪些？

生完成(a+b)3,(a+b)4进一步探讨和3合并同类项后，每一的展开式，并推广

分析

项的系数如何确定？

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1

在分析系数的过程b＋‥+Cnkan-kbk ＋‥由特殊到一般中，教师给与相应的＋Cnnbn

的归纳总结，离提示：以b的选择为二项式定理的公式不开大量特殊标准

特征：

实例的观察。

①展开式中每一项因此让学生合344你能仿照上述过程的次数都是n; 作讨论完成推到(a+b),(a+b)的展开式吗？

定理

③字母a降幂排列,展开式，并推广5你能猜想一下(a+b)n次数由n递减到0,到一般形式

的展开式并证明吗？

字母b升幂排列,次

教师板书二项式定数由0递增到n;

通过观察二项②展开式共n+1项; (a+b)3,(a+b)4的④

Cnkan-kbk

是展开式定理公式的理，并引导学生分析

式的第k+1项;

特征，进一步掌二项式定理的公式特征

Tk+1=Cnkan-kbk

叫二握二项式定理

项展开式的通项

从数列的角度特例令a=1,b=x，从函⑤各项的系数分析通项，加深数的观点看展开式为Cnk(k=0,1…n)叫二对定理的认识

一元n次多项式函数。

项式系数

例(1) 写出

(1+2x)5 的展开式

(2) 求

(1+2x)5 的展开熟悉二项展开式中的第

4 项

例题讲解开式中的第4 项

巩固新知

开式中的第4 项的二的应用。

项式系数，以及第

4 项的系数

当堂检测

3、求

的

5 (3) 写出

(2x-1)5 的展学生独立完成，并由学生自己讲解过式及其通项，培养学生的运算能力，感受数学模型在数学中(4) 写出

(2x-1)的展程。

基础题

1、求(2a+b)4的展开式

2、求(1+2x)7错误！未找到引用源。的展开式的第5项的系数

提升题

由学生独立完成，

然后组织全班讨进一步考察学论。

生对本节课知识的掌握程度。

学生对比“直接展

开”和“化简后展

开”的过程。

提升展开式错误！未找到

感受二项式定理的应用。

引用源。

4、今天是星期一，今

天是第一天，那么第根据本节课知识，

自己出题，整体把通过学生参与握二项式定理。

检测题的设计，能力

810天是星期几？

请你根据本节所学二项式定理的相关知识，设计一道练习题！（小组同学互换完成解答）

总结：

本节课你学到了哪些归纳知识？

从而达到知识的整合，反馈学生学习的效果

引导学生回顾学生总结本节课所总结，加深对本学知识，课后完成节课所学知识作业。

的理解。

总结

布置作业：

作业

1、课本

31页练习1-4 2、预习

“杨辉三角”与二项式系数的性质