信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响名师教学设计2

正态分布

教材：人教版高中数学选修2-3第二章第4节

李欣鹏

一.教学目标

（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；

（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（3）求满足标准正态分布的随机变量在某一个范围内的概率.

二.教学重点和难点

重点：（1）

认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（2）求满足正态分布的随机变量在某一个范围内的概率. 难点：求满足正态分布的随机变量在某一个范围内的概率. 三.新课讲授

1.正态密度曲线

1.1．情境引入

引入1.思考

.你见过高尔顿板吗？

简述：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 动画展示；

高尔顿板的动态演示

根据高尔顿板的模型可以画出如下的频率分布直方图

随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线

引入2.某中学男生中随机抽取

84 名，测量身高，数据如下（单位

cm ）

164

175

170

163

168

161

177

173

165 181

155

178

164

161

174

177

175

168 170

169

174

164

176

181

181

167

178 168

169

159

174

167

171

176

172

174 159

180

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171 185

164

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172 179

161

160

175

169

169

175

161

155 156

182

182

根据数据，列出频数和频率的分布表再画出频率分布直方图

随着抽取人数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.

1.2下定义

1正态曲线：我们称函数

,x2x222,x,（其中

和

为参数）的图像为正态密度曲线，简称正态曲线. 定义解释：总体均值反映总体随机变量取值的平均水平；总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度；自变量为x，定义域为R。函数仅由参数，决定.

1.3正态曲线的性质

1（1）正态曲线的函数表达式：,x2x222,x,

（2）图像大致位置：图像位于x轴上方与x轴无交点，曲线与x轴围成图形的面积为1 （3）对称性：

设问：猜测图像的对称轴是哪条直线？

结论：图像关于直线x对称

（4）单调性：在-，单调递增，在，上单点递减（结合解析式观察图像易得）

（5）最值

：

在

x

处取到最大值11）

；值域

：

（0，（观察图像22易得）

1.4

，

对正态曲线的影响

设问：观察正态分布曲线变化的动画，我们可以猜测，是如何影响正态曲线的？

结论: 的影响：当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移（定位置）

的影响：当一定时，曲线的形状由

确定，越，小曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散（定形状）。

2.

正态分布

2.1正态分布的探究

如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并沿着其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用

X 表示落下的小球与高尔顿板底部接触时的坐标，则

X 是一个随机变量. 提问：怎样表示随机变量X 落在区间a,b的概率？

提示：即由正态曲线，过点

a,0和b,0

的两条

x 轴的垂线，及

x 轴所围成的平面图形的面积，就是

X 落在区间a,b的概率的近似值（图中阴影面积）

即

Paxb,xdx

ab

2.2下定义

正态分布：一般地，如果对于任何实数

a ，

b ( a < b ) ，随机变量

X 满足Paxb,xdx

则称随机变量

X 服从正态分布. ab注：正态分布完全由参数



和

确定，因此正态分布常记作

N,2.即：如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X~N,2小知识：早在

1733 年，法国数学家棣莫弗就用

n ！的近似公式得到了正态分布.之后，德国数学家高斯在研究测量误差时导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布. 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如：长度测量的误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量；正常生长条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命）. 2.3特殊区间的概率

若X~N,2，则对于任何实数a0，aaP-axa特别的有：

,xdx

P-x0.6827

P-2x20.9545

P-3x30.9973

注：3原则：

由图可知，正态分布几乎总取之于区间

-3，3之间.而在此区间之外取值的概率只有

0.003 ，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件.通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 通常认为服从于正态分布X~N,2的随机变x量只取

-3，3之间

的值，并简称之为

3原则.

三.

课堂练习

1.

下列函数是正态密度函数的是（

）

1A.fxe2

C.fxx2222-x

B.fxe2

2

D.fx21e22-x1241e2

2x222.设两个正态分布，X1~N1,1和X2~2，2的密度函数图像如图所示，则有（）A.12,12

2B.12,12

C.12,12

D.12,12

3.若X~N,2,则X位于区域，内的概率是多少？

52,68的概率是多少？4.某班考试成绩X服从正态分布，密度曲线如图所示，则X位于区间

五．课堂小结

请同学们齐声回答

1.

正态曲线；

2.

正态曲线的性质；

3.

正态分布（概念，记法，参数的意义）；

4.

特殊区间的概率.