探究与发现 组合数的两个性质优质课教案设计

隔板法的应用

新疆博乐第五师高级中学 胡卫祖

知识与技能：1、理解隔板法的原理 2、会利用隔板法原理解决一些简单问题

过程与方法：在理解原理的基础上，利用原理解决一些简单的问题

情感态度价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值

内容分析：在解决具体问题的基础上，理解隔板法原理，并能够学以致用，解决一些简单问题，培养学生的数学学习兴趣。

教学重点：隔板法的原理及其应用

教学难点：隔板法原理的理解，隔板法应用的条件

学情分析：学生已经学习了两个原理，排列组合知识

学法指导：突出探究、发现与交流

创设情境

隔板法是插空法的一种特殊情况，常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题。适当使用隔板法往往能够使一些问题化难为易。先看一个定理。

定理 方程x1x2xnm(m,nN,mn)的正整数解n1的组数为Cm1

分析：问题可以转化为将m个元素分成n组的方法数问题。m个元素中间有(m1)个空档，在其中选(n1)个空档放入n1(n1)个隔板，则将m个元素分成n组，方法数为Cm1，即方程n1解的组数为Cm1

定理的要求是：xi1(i1,2,,n)，且xiN

上述这种解决问题的方法通常又被称为隔板法。应用隔板法解决问题时，需要注意两点，一是隔板法针对的是相同元素的分配问题，元素是不加区分的；二是要保证隔板隔出来每一部分至少有一个元素。

下面谈谈隔板法的应用

一、不定方程解的问题

例1、若x,y,zN，求方程xyz10解的组数。

分析：问题等价于将10个元素分成3组的方法数，10

个元素中间有9个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为C9236

例2、求方程xyz10有多少组非负整数解。

分析：x,y,zN,x,y,z0，则x11，y11，z11，

故(x1)(y1)(z1)13，13个元素中间有12个空档，选22个空档插入隔板即可，方法数为C1266

例3、求方程xyz10满足x2，y3，z3的整数解的组数。

分析:由x2，y3，z3得：x11，y41，z21

又xyz10，故(x1)(y4)(z2)11，11个元素中间有102个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为C1045

二、盒子装球问题

例4、将5个相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？

分析：因为允许有的盒子没有小球，设4个不同的盒子的球的个数分别为x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x45，且x10,x20,x30,x40，故x111，x211，x311，x411，9(x11)(x21)(x31)(x41)9，个元素中间有8个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数为C8356

注意：若将5个不相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？

分析：由于是5个不同的小球，元素不同呢，不能用隔板法。

例5、将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于于其编号数，问不同的放法有多少种？

分析：设4个不同的盒子的球的个数分别为x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x412，且x11,x22,x33,x44，故x11，x211，x321，x431，x1(x21)(x32)(x43)6，6个元素中间有5个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数为C5310

三、展开式的项数问题

例6、求(abcd)10展开式中有多少项？

xxxx分析：展开式的每一项都可以写成ma1b2c3d4，m为系数，且x1x2x3x410，x10,x20,x30,x40，故x111，x211，x311，x411，(x11)(x21)(x31)(x41)14，14个元素中间有13个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数3为C13286

四、应用问题

例7、某企业与一家电视台签订了一项播放广告的协议，电视台须在90天内播出这一广告600次，而且每天至少6次，就每天播出广告次数而言，共有多少种方法？

分析：设每天播出广告次数为x1,x2,x3,,x90，则x1x2x9060，且0xk6,k1,2,3,,90，则xk51，

故(x15)(x25)(x35)(x905)150，150个元素中间有149个空档，选89个空档插入隔板即可，方法数为C149

例8、在1到1000之间有多少个整数的各位数字之和为6？

分析：把1到999之间的每一个整数的左边适当添加几个0，写成3位数x1x2x3，如把6写成006，66写成066，则x1x2x36，x10,x20,x30，故x111，x211，x311，(x11)(x21)(x31)9，989个元素中间有8个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为C8228

五、映射个数问题

例9、若集合Aa1,a2,a3,,a100，Bb1,b2,b3,,b50，若从集合A到集合B的映射f使得B中的每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，问这样的映射有多少个？

分析:由f(a1)f(a2)f(a100)，问题等价于将100个相同的小球放入50个不同的盒子中，每个盒子至少一个小球，100个元素中间有99个空档，选49个空档插入隔板即可，从49而由隔板法知这样的映射个数为C99

例10、Aa1,a2,a3,,a100，Bb1,b2,b3,,b50，若从集合A到集合B的映射f中，满足f(a1)射有多少个？

问这样的映f(a2)f(a100)，

分析：同例9，不同的是本题等价于将100个相同的小球放入50个不同的盒子中，每个盒子可空的方法数，设50个盒子装球数分别为x1,x2,x3,,x50，x1x2x50100，

x10,x20,x30,,x500，则x111，x211，x311，……，150x5011,有(x11)(x21)(x31)(x501)150，个元素中49间有149个空档，选49个空档插入隔板即可，方法数为C149，49即这样的映射有C149。