1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第一课时教学设计

高中数学选修1-2第一章

统计案例

第3讲

独立性检验的基本思想及其初步应用

【学习目标】

1.了解分类变量的概念; 2.会画2×2列联表; 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用; 4.理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤．

【知识要点】

知识点1 两个分类变量之间关联关系的定性分析

1.分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值进行理解，它们取的不一定是具体的数值．

2.列联表

列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法

(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系．通常通过列联表列出两个分类变量的频数表来进行分析．

(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征. 知识点2 独立性检验

1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

nad－bc22．K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d23．独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确

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定临界值k0. (2)利用公式计算随机变量K2的观测值k. (3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

(4)一般来说,当K2≤2.706时,我们认为两个分类变量无关. 附表: P(K2≥k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

【基础练习】

1.右面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为(

) A．94,96

B．52,50

C．52,60

D．54,52 2.观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(

)

x1

x2

总计

y1

a 8

b y2

21

25

46

总计

73 33 106

3.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：

男

女

理科

13

7

文科

10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×13×20－10×72根据表中数据，得到K的观测值k＝≈4.844.可认为选修文科与性别有关23×27×20×302系的可能性不低于________．

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【典型例析】

例1.(2017•新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率；

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较. 附:

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P(K2≥K) K

0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

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变式1.(2014•安徽)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时). (1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率. (3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. P(K2≥k0) k0

附：K2=0.10 2.706 0.05 3.841 . 0.010 6.635 0.005 7.879

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