1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案2

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

作课人：7号

学习目标：

1.了解柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式的由来，并掌握表面积公式。

2.理解柱体、锥体、台体的表面积之间及体积之间的关系。

3.会利用表面积公式和体积公式进行计算。

4.培养数学抽象，逻辑推理，直观想象的数学核心素养。

学习重点：

了解柱体、锥体、台体的表面积与体积计算公式。

学习难点：

台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透。

教具准备： 多媒体课件、三角板

课堂模式 自主探究

一、引入新课：

学生观察建筑物图片，说出看到的几何体。

教师提出问题：建造这样的建筑物，应该使用多少材料呢？这就要从度量的角度去计算几何体的表面积和体积，从而引入课题。

初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你们知道正方体和长方体的表面积与其展开图的关系吗？

老师演示正方体和长方体的展开图如下，并引导学生回忆和回答．

图1 正方体及其展开图 图2 长方体及其展开图

然后设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体、锥体、台体的表面积是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？．

二、探究新知:

1．探究多面体表面积的求法：

教师：利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图：

h'h1 学生思考：这三个几何体的表面由哪些平面图形构成？它们的侧面展开图又是什么？表面积如何求？

教师：对学生表述归纳的结果进行点评，并梳理总结。

一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．

例1．

已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积．

学生：自主探究，分析题目，计算出结果．

教师：提供出规范的解题过程如下：

解：先求△SBC的面积,过点S作SDBC,交BC于点D．

Sa3因为BCa,SD=SBBDaa.

222222ABD 所以

SSBC11332BCSDaaa.

222432a3a2.

4C

因此,四面体的表面积S42．探究旋转体的表面积的求法：

思考讨论：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

教师：引导学生分析得出：对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积．

①探究圆柱的表面积的求法：

圆柱的侧面展开图是矩形，其长是圆柱底面圆周长，其宽是圆柱的高（母线），

S2r22rl2r(rl)

②探究圆锥的表面积的求法：

圆锥的侧面展开图为一个扇形，其半径是圆锥的母线，其弧长等于圆锥底面周长，

设圆锥的底面半径为r,母线长为l,

2圆锥的表面积为Srrlr(rl)．

③探究圆台的表面积的求法：

探究：(1)联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？

(2) 如果圆台的上、下底面半径分别为r,r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗？

2

教师通过分析给出：

扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积，

所以圆台表面积为S=(rrrrlrl)．

思考：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式有何关系？

22

例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1．5 cm，盆壁长15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．

已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？

分析：油漆位置在什么地方？→

如何求花盆外壁表面积？

只要求出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积．

教师：提供出规范的解题过程如下：

由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积

1515201.5

222222)0.1(m2)1000(cm1000（cm）0.（1m)

S[()21515](2)2所以涂100个花盆需油漆：0.11001001000

(毫升）．

答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆．

3.柱体、锥体、台体的体积公式

我们已经学习了计算特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.

它们的体积公式可以统一为VSh(S为底面面积，h为高)，

一般柱体的体积为VSh，其中S为底面面积，h为柱体的高(棱柱或圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点向另外一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离) 圆锥的体积公式为V

11Sh(S为底面面积，h为高),它是同底等高的圆柱的体积的. 333

棱锥的体积也是同底等高的棱柱的体积的11，即棱锥的体积VSh(S为底面面积，h为高). 33

一般锥体的体积公式为V1Sh，其中S为底面面积，h为锥体的高(棱锥或圆锥的高是指从顶点向3PA底面作垂线，顶点与垂足之间的距离) 由于棱台(圆台)是由棱锥(圆锥)截成，

因此可以利用两个锥体的体积差，

得到圆台(棱台)的体积公式：

SBDC1V(SSSS)h，

3其中S,S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)的高. 思考1：台体的体积公式你能够证明吗？

实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成.

思考2：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

hADSCB

三、运用新知：

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？

教师分析：六角螺帽的几何结构特征？

→

如何求其体积？

→

如何求正六边形的面积→

利用哪些数量关系求个数？

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:

v3101226103.14()210422956(mm3)2.956(cm3)

所以螺帽的个数为

5.81000(7.82.956)252

答：这堆螺帽大约有252个.

4

四、课堂小结：

1.柱体、锥体、台体的表面积：（空间问题化为平面问题）

（1）多面体：各面面积之和

（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：

2．柱体、锥体、台体的体积：

五、布置作业：

1.棱台的两个底面面积分别是4cm2和9cm2，截得这个棱台的棱锥的高为6cm，求这个棱台的体积. 2. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为3，求圆锥的体积. 六、板书设计：

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、表面积

1.多面体的表面积

2.旋转体的表面积

①圆柱

②圆锥

③圆台

二、体积

1.

柱体

2.

锥体

3.

台体

三、典例解析

5