3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀完整教案

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、内容及其分析

本节内容为复数代数形式的乘除运算，要求掌握复数的代数形式的乘、除运算及共轭复数的概念。本次内容为复数代数形式的乘除运算的教学。复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在这种规定与实数的加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立。由减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算的规定，就可以得到复数减法、除法的运算法则。复数代数形式的四则运算可以类比代数形式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2=-1，将它们归结为实数的四则运算。本节课的教学重点是复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念；解决它关键是能够将实数的乘法过度过来，而复数的除法中要涉及到共轭复数，一定要利用共轭复数将分母实数化。

二、目标及其分析

目标：1、掌握复数的代数形式的乘、除运算。

2、理解复数共轭复数的概念

解析：1、①复数的乘法法则：

(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。

两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把i换为1，并且把实部与虚部分别合并即可．

②复数的除法法则。

(abi)(cdi)abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d22

其中cdi叫做实数化因子

其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．

2、当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

当b0时，abi与abi又叫做共轭虚数。

三、问题诊断分析

在学习复数代数形式的乘除运算时，要求掌握复数的代数形式的乘、除运算及共轭复数的概念。本次教学内容中复数的乘法学生应该你比较好接受，但是在

1

复数的除法中，因为涉及到了共轭复数，要通过适量的练习加以巩固。

四、教学支持条件分析

在本节课复数代数形式的乘除运算的教学中，可以直接利用黑板教学，让学生掌握复数代数形式的乘除法运算法则。

[来源:Z&xx&k.Com]五、教学过程：

教学过程：

（一）、复习准备：

1、复数的加减法的几何意义是什么？

2、计算

（1）(14i)+(72i) （2）(52i)+(14i)(23i)

（3）(32i)-[(43i)(5i)]

（二）、讲授新课：

问题一：复数代数形式的乘法运算该如何进行？

问题1：计算：（1）(13)(23) （2）(ab)(cd) （类比多项式的乘法引入复数的乘法）

问题2：类比多项式的乘法，复数代数形式的乘法？

复数的乘法法则：

(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。

两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把i换为1，并且把实部与虚部分别合并即可．

例1、

计算

（1）(14i)(72i) （2）(72i)(14i)

设计意图：运用复数的乘法法则，使学生能够尽快将其掌握。

变式练习：

计算：（1）[(32i)(43i)](5i) （2）(32i)[(43i)(5i)]

[来源:学.科.网Z.X.X.K]2

问题3：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？·z2z2·z1交换律：z1．

2

·z2·)z3z1·(z2·z3)．

结合律：(z1

分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3．

例2 已知复数Z，若（2+3i）Z=8，试求Z的值。

设计意图：让学生会用复数代数形式乘除法运算律做题。

变式练习：

已知复数 Z，若（2-3i）Z=-8，试求 Z的值

问题二：共轭复数的相关概念有哪些？

问题4：什么叫共轭复数？

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

问题5：a+bi的共轭复数是什么？

abi与abi叫做互为共轭复数。

问题6：当b0时，abi与abi又叫什么？

它们叫做共轭虚数。

问题7：共轭复数的记法？

例2：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i。

设计意图：此题考察学生对共轭复数概念的理解．

变式练习：

说出下列复数的共轭复数：-3-2i,4-3i,-7,-2i.

问题8：在复平面内，共轭复数所对应的点有怎样的位置关系？

共轭的两个复数关于x轴对称

问题9：类比1223(12)(23)(23)(23)，试写出复数的除法法则。

(abi)(cdi)abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2

其中cdi叫做实数化因子

其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似

3

于以前所学的把分母“有理化”．

问题10：虚数i的乘方及其规律？

i1i，i21，i3i，i41，i5i，i61，i7i，i81，．

4n4n14n24n3i1(nN)，即i具有周期性且最小正周期iii1ii可见，，，，为4．

问题11：若两复数互为共轭复数，则它们的乘积为

实数 问题12：共轭复数的意义是什么？

用于复数的化简以及复数的除法运算.

例3：计算

(32i)(23i) (12i)(32i)

设计意图:运用复数的除法法则，使学生能够尽快将其掌握。

变式训练：

32i计算 (12i)2

六、课堂小结：

3i

(1i)211、两复数的乘除法法则

复数的除法的实质

2、共轭复数的有关概念：

共轭虚数。

共轭复数的记法

共轭复数所对应的点有怎样的位置关系

共轭复数的几何意义

七、目标检测

课本60页1、2、3

八、配餐作业：

A组题

4

1、下面四个命题

(1) 0比i大

(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数

(3) xyi1i的充要条件为xy1

(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，

其中正确的命题个数是 （ A ）

A、0 B、1 C、2 D、3

（1）

0比i大，实数与虚数不能比较大小；

（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数； （3）xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有表明x,y是否是实数；

（4）当a0时，没有纯虚数和它对应

2、复数z是实数的充要条件是 （

B ）

Ａ、zz

Ｂ、zz

Ｃ、z2为实数

Ｄ、zz为实数

10，则z等于 （ D ）

12i3、若复数z满足zzＡ、34i

12Ｂ、34i

Ｃ、34i

Ｄ、34i

123i

24、若xC，则方程x13ix的解是 （

C ）

Ａ、5、3i Ｂ、x14，x21 Ｃ、43i

2

Ｄ、13i(3i)142等于 （

B ）

Ｂ、14313i Ｃ、i 422Ａ、3i

4Ｄ、123i

26、若z34i≤2，则z的最大值是 （

B ）

Ａ、3

Ｂ、7

Ｃ、9

Ｄ、5 i7、在复平面内，复数1i＋(1＋3i)2对应的点

位于

(

B

) (A) 第一象限

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D)第四象限

1ii123i3解答：复数1i＋(1＋3i)2＝2

31(23)i

＝22

5

3131(23)i(,23)因为复数22对应着直角坐标平面内的点22。

B组题

8、计算（1）1i2ii3 （2）iiiii （3）23452i312i

9、设z12i，z213i，则虚数ziz2的实部为

0

．z15[来源:Z|xx|k.Com]

10、复数z(m23m2)(m22m8)i的共轭复数在复平面上的对应点在第一象1)(2，4)限内，则实数m的取范围是(2，

11、已知复数z满足z11，且i是纯虚数，则复数z的值为 0或2 z1 C组题

12、证明：在复数范围内，方程z(1i)z(1i)z证明：原方程化简为z(1i)z(1i)z13i．

设zxyi(x，yR)，代入上述方程得x2y2(2x2y)i13i．[来源:Zxxk.Com]255i（i为虚数单位）无解．

2i2

x2y21，①

∴2y2x3，②将②代入①，得8x212x50．()

∵144160160，

∴方程()无实数解，∴原方程在复数范围内无解．

13、设a，b为共轭复数，且(ab)23abi46i，求a和b．

解：设axyi，则bxyi(x，yR)

由条件得(xyixyi)23(xyi)(xyi)i46i，

即4x23(x2y2)i46i，

4x24，，x1由复数相等的充要条件，得22

解得

y1．3(xy)6．[来源:学+科+网]a1i，a1i，a1i，∴b1i；b1i；b1i；

九、教学反思

6