2.2.3 两条直线的位置关系ppt配用优秀教学设计

3．1.2 两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行

[提出问题] 平面几何中，两条直线平行，同位角相等．

问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？

提示：相等．

问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？

提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．

问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？

提示：不一定．可能平行也可能重合．

[导入新知] 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. [化解疑难] 对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．

两条直线垂直

[提出问题] 已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2. 问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？

提示：k1＝3，k2＝－3. 3问题2：上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？

提示：k1k2＝－1. 问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？

提示：一定．

[导入新知] 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

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两条直线平行的判定

[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；

(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；

(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．

5－14[解] (1)由题意知，k1＝＝－，

－3－25k2＝－7＋34＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，

8－3544＝－≠－，故l1∥l2. 35－1－13－4＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝－2－02－35－－又kBC＝－3－3(2)由题意知，k1＝4－－3－－＝1，故直线l1与直线l2重合．

－23－3(3)由题意知，k1＝tan 60°＝3，k2＝＝3，k1＝k2，所以直线l1与直线l2－2－1平行或重合．

(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. [类题通法] 判断两条不重合直线是否平行的步骤

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[活学活用] 7求证：顺次连接A(2，－3)，B5，－，C(2,3)，D(－4,4)四2所得的四边形是梯形(如图所示)．

7－－－2证明：因为kAB＝5－21＝－，

6点kCD＝4－31＝－，所以kAB＝kCD，从而AB∥CD. －4－2673－－13－3－472因为kBC＝＝－，kDA＝＝－，

2－562－－6所以kBC≠kDA，从而直线BC与DA不平行．

因此，四边形ABCD是梯形．

两条直线垂直的问题

[例2] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．

[解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. ∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，

∴l2的斜率存在．

当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．

当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，

由k1·k2＝－1，得－3－aa－2－3·＝－1，解得a＝－6. a－2－3－1－2综上可知，a的值为5或－6. [类题通法] 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．

(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.

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[活学活用]

已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．

答案：(1,0)或(2,0) 平行与垂直的综合应用

[例3] 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．

[解] 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，5－3由斜率公式可得kAB＝2－－10－31＝，kCD＝＝，

3－3－63kAD＝0－3－3－－3－51＝－3，kBC＝＝－. 6－22所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，

所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．

1又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，

3所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．

[类题通法] 1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．

2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．

[活学活用] 已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．

解：设D(x，y)，则kAB＝

24－22＝1，kBC＝＝－，

3－10－33y－4ykCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，

xx－1所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，

y－41×x＝－1，所以y2＝－x－13.

1．下列说法正确的有(

)

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①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

②若l1∥l2，则k1＝k2；

③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；

④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．

A．1个

C．3个 答案：A 2．直线l1，l2的斜率是方程x－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(

) A．平行 C．相交但不垂直 答案：D

3．已知直线l1的倾斜角α1为30°，l2⊥l1，则l2的斜率k2＝________，l2的倾斜角α＝________. 答案：－3 120°

4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．

14答案：

55．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．

(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；

(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；

(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．

答案：(1)l1⊥l2

(2)l1⊥l2

(3)l1∥l2

(4)l1∥l2

22B．2个

D．4个

B．重合

D．垂直

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