1.2.2 空间中的平行关系教学设计及课堂实录

课题

平面与平面垂直的性课时设置：1课授课时间：

质

时

.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能知识与

力. 能力

面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力

教学过程与

目方法

标

通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 情感态

度与价值观

教学重点：平面与平面垂直的性质定理

教学难点：平面与平面性质定理的应用.

教学过程

复习

（1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：ABα⊥β.

AB二次备课

两个平面垂直的判定定理图形表述为：

①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3. ②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4. 1

图4 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：ABCDAB⊥β.

ABCDABCDB

两个平面垂直的性质定理证明过程如下：

图5 如图5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B. 求证：AB⊥β.

证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.

③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：

求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明. 如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：aα.

图6 证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，

∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, ∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.

例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.

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图7

解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b, ∵α⊥β,

∴b⊥β.

∵a⊥β,

∴a∥b. ∵aα,

∴a∥α.

如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.

图8 图9

证明：如图9, (1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a. 同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.

(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1. 同理,b∥a2. ∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合. 又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a. ∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.

点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.

例1

如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC, 图13 （1）求证：平面ABD⊥平面ABC；

（2）求二面角CBDA的余弦值. （1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面3

ABC，O为垂足，则OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心，即AB的中点. ∴O∈AB，即O∈平面ABD. ∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC. （2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形. 设BC=a，则CE=1OE33a，OE=a,∴cos∠OEC=即为2CE32所求. 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.

板书设计

课后反思

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