二 用数学归纳法证明不等式教案设计

用数学归纳法证明不等式举例

临澧一中数学组

刘贤青

一、教学目标

1、

理解和掌握数学归纳法的证明步骤；

2、

掌握数学归纳法证明不等式的常用的方法与技巧；

3、

加深对“观察-归纳-猜想-证明”这一重要思想方法的理解．

二、教学重点与难点

重点：1、理解数学归纳法的实质意义、证明步骤；

2、运用数学归纳证明不等式. 难点：1、数学归纳法的证明步骤；

2、从特殊探索出一般性结论．

三、教学过程

(一)复习

（1）数学归纳法证命题的基本步骤；

（2）数学归纳法适用范围：仅限于与正整数有关的数学命题的证明（并不是所有与正整数有关的命题都用数学归纳法）；

（3）用数学归纳证明时应注意的几个问题：注意第一步nn0的值是多少、第二步证递推关系nk1成立时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

(二)新授

例1．用数学归纳法：2n对于nn0的正整数n都成立时，第一步证明中的起始值n2n0=________．

【变式】2n对哪些正整数n成立？

【练习1】（1）在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证n0=________．

n41（2）1n对哪些正整数n成立？

n

n

例2．用数学归纳法证明：1112312n（其中nN*）

n解：（1）当n1时，121，不等式成立．

（2）假设当nk(kN*)时不等式成立，即1112312k

k那么当nk1时，111231112kkk1k1

2k(k1)1k1k(k1)12k1

k1即当nk1不等式也成立．

由（1）（2）可知不等式1

【练习2】用数学归纳法证明：1解：（1）当n1时，1112312n对nN都成立．

n11223213n*（nN）

2n2n131，不等式成立．

2111*（2）假设当nk(kN)时不等式成立，即12223那么当nk1时，113kk22k1

112223113k1k2(k1)22k1(k1)2

3k13(k1)下证2k1(k1)22(k1)1

3k13(k1)3k(2k3)3(k1)(2k1)12k1(k1)22(k1)14k28k3(k1)2

314(k1)213(k1)2224(k1)1(k1)(k1)2[4(k1)21]

(k1)21k(k2)0

(k1)2(4k28k3)(k1)2(4k28k3)即当nk1不等式也成立．

由（1）（2）可知不等式111222313n对nN都成立．

2n2n1

例3．（2017年浙江卷）已知数列{xn}满足：x11,xnxn1ln(1xn1)(nN*)

*证明：当nN时，（Ⅰ）0xn1xn，（Ⅱ）2xn1xnxnxn111，（Ⅲ）n1xnn2

222解：（Ⅰ）当n1时，x110．假设当nk(kN*)时xk0，

那么当nk1时，若xn10,则xkxk1ln(1xk1)0与xk0矛盾

xk10．nk1时xn0成立．

对nN*，都有xn0

ln(1xn1)0

xnxn1ln(1xn1)xn1

综上，0xn1xn

（Ⅱ）由xnxn1ln(1xn1)得

xnxn112xn1xn(xnxn14xn12xn)221[xn12xn1ln(1xn1)4xn12xn12ln(1xn1)]

21[xn122xn1(xn12)ln(1xn1)]2记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)

2x2xf(x)ln(1x)0(x0)，

x1函数f(x)在[0,)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此

2xn12xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，

故2xn1xnxnxn1(nN*)

2（Ⅲ）因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，

所以xn1

n12

1111xnxn12()0，

2xx由n1n得xn12xn22所以1111112()...2n1()2n2，

xn2xn12x121

故xn2n211*综上，n1xnn2(nN)

22例4．(2014年安徽卷)设c0，整数p1，nN．

（Ⅰ）证明：当x1且x0时，(1x)p1px；

*p1c（Ⅱ）数列{an}满足a1c,an1anan1p证明：anan1cp．

pp（Ⅰ）证：用数学归纳法证明

（1）当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立。

（2）假设pk(k2,kN*)时，不等式(1x)k1kx成立

当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)

1p11(k1)xkx21(k1)x

所以pk1时，原不等式成立。

p综合（1）（2）可得当当x1且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)1px

均成立。

（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法

证明anc。

（1）当n1时由假设a1c知anc成立。

（2）假设nk(k1,kN*)时，不等式akc成立

由an11p1p1p1pp1c1panan易知an0,nN*

pp当nk1时ak1p1cp1cak1(p1)

akpppak

由akc0得11p11c(1)0

ppakp由（Ⅰ）中的结论得(ak1p1c1cc)[1(p1)]p1p(p1)p

akpakpakak1p因此akp1c，即ak1c

所以当nk1时，不等式anc也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式anc均成立。

再由1p1pan1a1c1(p1)得n11，即an1an

anpanan1p综上所述，anan1c,nN*

p1c证法2：构造函数，设f(x)xx1p,xcp，则xpc，并且

ppp1cp1cf'(x)(1p)xp(1p)0，xcp

pppx由此可见，f(x)在[c,)上单调递增，因而当xc时f(x)f(c)c。

（1）当n1时由a1c0，即a1pc可知

1p1p1p111p1pa2p1c1ca1a11pa1[1(p1)]a1，

pppa11p1p并且a2f(a1)c，从而a1a2c

故当n1时，不等式anan1c成立。

（2）假设nk(k1,kN*)时，不等式akak1c成立，则

当nk1时f(ak)f(ak1)f(c)，即有ak1ak2c，

所以当nk1时原不等式也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式anan1c均成立。

1p1p1p1p1p

四、课堂小结

在不等式的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用方法之一，在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立推导式nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等综合进行．有时甚至还嵌套运用数学归纳法，所用手段有：换元（包括三角换元）、因式分解（提公因数），构造函数或构造几何图形、求导、求积分、构造向量、构造均值不等式、柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式、三角不等式、绝对值不等式等等.所用数学思想方法有：数形结合、分类讨论、函数与方程思想、等价转化（化归）思想、整体思想等．

五、课后练习

1．证明不等式|sinn|n|sin|．

2．证明（贝努利）不等式：

如果x是实数，且x1,x0,n为不大于1的自然数，那么有(1x)n1nx．

3．证明：如果n(nN)个正数a1,a2,那么它们的和a1a2**,an满足a1a2an1，

ann．

n14．证明：当n3,nN时，1n

n5．当an1223n(n1)(nN*)时，不等式

n(n1)(n1)2an对一切正整数n都成立．

226.

若a、b、c三个正数成等差数列，公差d0，自然数n2,求证：ac2b. 7.

设函数f(x)xxlnx，数列an满足0a11，an1fan，

求证：（1）fx在0,1上是增函数；（2）anan11. 8.

设数列an满足an1annan1,nN,a13，求证：

2nnn

1ann2

2

1111

1a11a21an2