2.1.2 演绎推理PPT及课堂实录内容

2.1.2 演绎推理

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．

(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．

2．过程与方法

(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．

(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．

(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．

3．情感、态度与价值观

让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．

●重点难点

重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．

难点：利用三段论证明一些实际问题．

通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．

(教师用书独具)

1

●教学建议 建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．

课标解读

2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点) 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1.理解演绎推理的意义．(重点)

【问题导思】

看下面两个问题：

演绎推理

2

(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；

(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．

1．这两个问题中的第一句都说的是什么？

【提示】

都说的是一般原理．

2．第二句又说的是什么？

【提示】

都说的是特殊示例．

3．第三句呢？

【提示】

由一般原理对特殊示例作出判断．

1．演绎推理

(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．

(2)特点：由一般到特殊的推理．

2．三段论

大前提

小前提

结论

殊情况做出的判断

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特

常用格式

M是P

S是M

S是P

把演绎推理写成三段论形式

将下列推理写成“三段论”的形式：

(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；

(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

·(3)0.332

是有理数；

(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

【思路探究】

首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．

【自主解答】

(1)向量是既有大小又有方向的量，

大前提

零向量是向量，小前提

所以零向量也有大小和方向．结论

3

(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提

正方形是矩形，小前提

正方形的对角线相等．结论

(3)所有的循环小数都是有理数，大前提

·0．332是循环小数，小前提

·0．332是有理数．结论

(4)三角函数是周期函数，大前提

y＝sin x是三角函数，小前提

y＝sin x是周期函数．结论

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)整数是自然数，大前提

－3是整数，小前提

－3是自然数．结论

(2)常数函数的导函数为0，大前提

函数f(x)的导函数为0，小前提

f(x)为常数函数．结论

(3)无理数是无限不循环小数，大前提

1(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提

31是无理数结论

3【解】

(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

1(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小3数.

4

三段论在证明几何问题中的应用

图2－1－4

已知在梯形ABCD中(如图2－1－4)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明) 【思路探究】

观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3 【自主解答】

∵等腰三角形两底角相等，大前提

△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，

小前提

∴∠1＝∠2.结论

∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，

大前提

∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，

小前提

∴∠1＝∠3.结论

∵等于同一个角的两个角相等，大前提

∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提

∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论

1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P. 2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．

试用更简洁的语言书写本例的证明过程．

【解】

在△DAC中，

∵DA＝DC，

∴∠1＝∠2，

又∵AD∥BC，

∴∠1＝∠3，

5

∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.

合情推理、演绎推理的综合应用

图2－1－5

如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．

(1)求证：O为△BCD的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．

【思路探究】

(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．

(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．

【自主解答】

(1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，

∴AD⊥平面ABC，

∴AD⊥BC，

又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

且AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心．

(2)猜想：S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝S△BCD. 证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，

由(1)知AD⊥平面ABC，

2222AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE＝EO·ED，

1112∴(BC·AE)＝(BC·EO)·(BC·ED)，

222即S△ABC＝S△BOC·S△BCD. 22

6

同理可证：S△ACD＝S△COD·S△BCD，S△ABD

＝S△BOD·S△BCD. ∴S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S△BCD.

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．

已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝a1a2…an(n∈N)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

【解】

类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝222222n*a1＋a2＋…＋an也是等差数列．证明如下：

na1＋a2＋…＋an＝nnn－na1＋2d＝a1＋(n－1)，

2设等差数列{an}的公差为d，则bn＝dn所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．

2d

7

数形结合思想在演绎推理中的应用

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．

若函数f(x)＝log2(x＋1)，且c>b>a>0，则系是(

) A.C.

fafbfc、、的大小关abcfafbfcfcfbfa>>

B.>>

abccbafbb>faa>D．fc

cfaa>fcc>fb

b【思路点拨】

作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象―→找三点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))―→结论的几何意义―→结论

【规范解答】

作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示，可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A项正确．

fafbfc、、abc

【答案】

A

运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本

8

题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！

1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．

2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．

1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x＋1)是奇函数．以上推理(

) A．结论正确

C．小前提不正确 222B．大前提不正确

D．全不正确

【解析】

函数f(x)＝sin(x＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C. 【答案】

C 2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是(

) A．①

B．② C．①②

D．③

【解析】

本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．

【答案】

D 3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：

大前提：________________________________________________________________________ 小前提：

9

________________________________________________________________________ 结论：________________________________________________________________________ 【解析】

根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．

【答案】

不能被2整除的整数是奇数

35不能被2整除

35是奇数

4．用三段论的形式写出下列命题：

(1)Rt△ABC的内角和为180°；

(2)通项公式an＝2n＋3的数列{an}是等差数列．

【解】

(1)三角形的内角和是180°，大前提

Rt△ABC是三角形，小前提

Rt△ABC的内角和为180°.结论

(2)若n≥2时，an－an－1为常数，则

{an}是等差数列，大前提

an＝3n＋2，an－an－1＝3，小前提

则{an}是等差数列．结论

一、选择题

1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b. 证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的(

) A．大前提

B．小前提

C．结论 D．三段论

【解析】

结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．

【答案】

B 1xx2．(2013·三亚高二检测)“指数函数y＝a(a＞0且a≠1)是R上的增函数，而y＝()21x是指数函数，所以y＝()是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是2(

) A．大前提 C．大、小前提 B．小前提

D．推理形式

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【解析】

指数函数y＝a在a＞1时在R上是增函数，当0＜a＜1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．

【答案】

A 3．在不等边三角形中，a为最大边．要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是(

) A．ab＋c 222222xB．a＝b＋c

D．a≤b＋c

222222b2＋c2－a2【解析】

∵cos A＝<0，

2bc∴b＋c－a<0，∴a>b＋c. 【答案】

C 4．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°

B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油

C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

2an－1【解析】

B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．

【答案】

A 5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(

) A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

【解析】

大前提为矩形都是对角线相等的四边形．

【答案】

B 二、填空题

6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a有意义时，222222a≥0”；小前提是“log2x－2有意义”；结论是________________________________________________________________________．

【解析】

由log2x－2≥0得x≥4.

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【答案】

“y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)”

7．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________________________________________________．

【解析】

大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足3＋4＝5；结论：△ABC是直角三角形．

【答案】

一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形

222

图2－1－6 8．如图2－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD. 又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA. 上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．

【答案】

演绎推理

三、解答题

9．把下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2＋1)是奇数，所以(2＋1)不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

【解】

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾．结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

(2＋1)是奇数，小前提

(2＋1)不能被2整除．结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

100100100100y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数．结论

10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．

图2－1－7

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【证明】

因为同位角相等，两条直线平行，大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以FD∥AE.结论

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

大前提

DE∥BA，且FD∥AE，小前提

所以四边形AFDE为平行四边形．结论

因为平行四边形的对边相等，大前提

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提

所以ED＝AF.结论

11．已知函数f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．

【解】

设0

axaaf(x1)－f(x2)＝(＋bx1)－(＋bx2) x1x2＝(x2－x1)(a－b)．

x1x2a时，

baa>b，

bx1x2当00,00，即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(0，当x2>x1≥a]上是减函数，

baaa时，则x2－x1>0，x1x2>，

bbx1x2∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

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∴数f(x)在[ab，＋∞)上是增函.

(教师用书独具)

已知函数f(x)＝a＋xx－2(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x＋1【思路探究】

利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．

【自主解答】

设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1

则f(x1)－f(x2)＝ax1＋＝ax1－ax2＋＝ax1－ax2＋x1－2x2－2－ax2－

x1＋1x2＋1x1－2x2－2－

x1＋1x2＋1x1－x2x1＋x2＋. ∵a>1，且x1－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)

∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．

2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．

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如图所示，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

【解】

(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图) ∵△ADB为等边三角形，

∴DE⊥AB. 又∵平面ADB⊥平面ABC，

且平面ADB∩平面ABC＝AB，

∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC. 由已知可得DE＝32AB＝3，EC＝1. ∴在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明如下：

①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，

∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又AC＝BC，∴AB⊥CE. ∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC. ∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.

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