1.3 二项式定理（通用）教学设计案例

1.教材分析

二项式定理是高中数学人教A版选修2-3第一章计数原理第3节的内容．在教师教学用书中建议本节内容分两个课时，这里仅针对第一课时内容，即二项式定理的探求过程。二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在排列与组合之后，随机变量及其分布之前，既是计数原理的一个应用，也是为学习二项分布作准备．

由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到计数原理，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．

2.教学目标分析

（1）知识与技能：能通过多项式乘法，感知归纳概括出二项式定理内容，并会用计数原理证明二项式定理．

（2）方法与技能：通过二项式定理的探求和证明，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，体会特殊到一般的思维方式。

（3）情感态度价值观：通过二项式定理的发现过程培养学生自主探究意识，合作精神，以及体会数学的对称美。

目标解析：

（1）二项式展开式是根据多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但通过感知得到归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在抽象概括定理的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能抽象出二项式定理的证明方法。． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，合作与猜想，让学生慢慢去探求去发现二项式定理，是达成教学目标的一个重要途径．

（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理。

基于上述分析，本节课的教学重难点定为：猜想并证明二项式定理。

3.教学设计

3.1提出问题，揭示课题

教师：同学们，今天是星期五，有人说82018天之后也是星期五，你们认为是对的吗？

学生：学生思考并积极回答．

教师：因为星期具有以7为周期的特性，所以我们需要用到(71)2018的展开式来解决上述问题，其实这也是我们今天研究的内容即二项式定理。

设计意图：问题情景引入，教师从学生熟悉的问题入手，引出课题，激发学生学习的兴趣，让学生感知生活中处处有数学，从而激发他们的求知欲。

3.2回顾旧知，感知规律

教师：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，其实就是多个ab相乘计算展开式，请同学们独立完成下表中的展开式。

展开式

展开式

ab1

abab1ab

a22abb2

a33a2b3ab2b3

abab2



23ab3ab

4

ab4

a44a3b6a2b24ab3b4学生：独立完成，教师可以适当展示。

设计意图：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，运算能力是学生必须掌握的数学基本技能。多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，巩固运算问题是本节课的第一个教学问题．所以设计的让学生先计算较为简单的多项式乘法，而(ab)n

的展开式是随着n的变化而变化，所以先从n=1,2,3，4来先直观感知多项式展开的变化情况。

教师：那你知道ab的展开式是什么吗？而ab52018的展开式又是什么呢？

学生：ab的展开式可以看作5个ab相乘，运用多项式的乘法还是可以得到，但是ab20185看作2018个ab相乘的话就太麻烦了。所以我们应该可以寻求一个能代表这些式子的通式。

教师：对的，事物之间或多或少存在着规律，其实这个规律也是牛顿当年的试图寻找的，那是1664年的冬天，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，也曾引发了这样的思考。同学们很有想法嘛，和伟大的牛顿当年是一样的，那么今天就让我们沿着大科学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二项式定理的过程。

设计意图：在平时的教学中渗透数学思想的教育，即让学生体会从特殊到一般的数学思想。鼓励学生大胆猜想是数学思考问题的开始，也许学生的猜想是没有道理甚么是错误的，但是没有大胆的猜想就没有大胆的发现。在教学中引入牛顿的故事能更大的增加学生学习的热情，也可以介绍一下数学历史。

教师：接下来我们来研究ab的展开式？那应该从哪里入手？

学生：从上面的特殊情况入手研究，发现它们展开后的规律，再推广到一般情况。

教师：那我们从展开式中的项数、项和次数、项的系数等角度进行观察，你能发现其中的特点吗？继续完成下表. 展开式

项数

项和次数

项的系数

特点

nab1ab

abab

2a22abb2

3a33a2b3ab2b3

ab4

a44a3b6a2b24ab3b4展开式

项数

2 3 4 项和次数

项的系数

1 1 1 2 1 特点

（1）项数（n+1）项

（2）项的次数变化

abab1ab

a22abb2

a33a2b3ab2b3

a，b a2,ab,b2

2ab3a3,a2b,ab2,b31 3 3 1 （3）项的系数变化

1 4 6 4 1

ab4

5 a4,a3b,a2b2,ab3,b4

a44a3b6a2b24ab3b4设计意图：在感知二项式定理的阶段，不能只观察个别展开式，为了发现一般的展开式规律则要进行多个对比的观察.因为，单独的一个或两个展开式，还不能完全表现出定理所反映的数量关系或是规律，因此要经历多次重复地对比观察归纳，从而使定理本质特征在各种各样的“侧显”不断涌现、不断重复出现，使定理所揭示的真实关系更加明显.学生通过表格直观地“感知”到字母n对项数和项的影响，可以初步形成一些结论，但是可能还不够全面，所以后面还需进一步观察，继续重复的看。因此，感知是不完全归纳发现的起始阶段，具有探路的性质.

3.3充分想象，引出猜想

学生先独立思考，然后小组内讨论探究，形成初步结果，最后展示分享成果。

成果展示：由上可归纳猜想出项的次数为n+1项，展开式中的每一项次数和都为n，都可以按字母a按降序排列，次数从n递减到0.字母b按升序排列，次数从0递增到n,项的系数应该具有对称性，所以初步猜想结果如下：

(ab)n0an1an1bkankbknbn

设计意图：在定理发现的过程中，想象的前提是具体感知事例中不变关系的形成，即具体事例本质的把握，而本质的把握又是一定量的事实的积累.所以引导学生通过对特殊情形的观察，归纳想象一般情形的基本特征．学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项和次数等角度进行归纳，并根据归纳所得想象一般的展开式的结果．他是在表格中进行联想和创造类似展开式的过程，是归纳过程中的一次飞跃，直接凸显了一般展开式中的某些特征，让学生充分体会由特殊到一般的归纳猜想的过程．

教师：看来我们下一步就是怎么寻找项的系数了。

探究(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式的特点．

教师：引导学生计算分析(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式的各项，（在表格中完成展开式）并提出问题在展开式中为什么没有a1b1a2项或a1a2等项？

学生：根据多项式的乘法计算法则和所得的计算结果，观察得到展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．所以不可能有a1b1a2项或a1a2等项。

教师：那

ab与(a1b1)(a2b2)(a3b3)是什么关系？

学生：当a1a2a3a,b1b2b3b时，(ab)3(a1b1)(a2b2)(a3b3)

教师：通过表格呈现(ab)3与(a1b1)(a2b2)(a3b3)的展开式的对比

3ab3(ab)(ab)(ab)a33a2b3ab2b3

(a1b1)(a2b2)(a3b3)a1a2a3a1a2b3a1b2a3b1a2a3a1b2b3b1a2b3b1b2a3b1b2b3

并提出问题：

(ab)30a31a2b2ab23b3中，为什么13？

小组探究，展示成果：

(ab)3展开式中的项3a2b是由(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式中的项a1a2b3，a1b2a3，b1a2a3去掉下标得到

aab，aba，baa后合并同类项所得．从三个括号中的一个括号选择“b”剩余两个括号选择“a”构成的，展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘，故从三个括号中的一个括号选择“b”，一旦确定哪个括号选“b”，剩余两个括号选择也就确定了，因为“b”有三种选择，所以对应同类项的个数就为3，即“a2b”的系数为3．

设计意图：直观的体验操作，理性思考运算过程，懂得从运算法则中寻找规律，切实引领学生经历运算、操作，与同伴合作探究，通过特殊与一般的项的关系对比，得到对系数意义的理解．怎样发现二项式展开式项的系数不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式中项与(ab)3项的异同点，得出(ab)n的展开式的项的系数规律，从而得到二项式定理的内容．

4.3探寻规律，抽象结论

教师：能否用计数模型进行解释？

学生：“a2b”可以看成是从三个括号中选择一个括号选“b”

，剩余两个括号选择“a”，完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可分成两步来完成：第1一、从三个括号中选择一个括号选“b”，有C3种选择；第二、剩余两个括号21111种选法，故有C31C3选择“a”就C2种选法，所以，1C3．依此可以得到其它系数的组合数形式：

1233(ab)3C30a3C3abC32ab2C3b．

设计意图：通过前面共同探究结果的生成，使学生的思维发生了质的飞跃，把对特殊项的系数探究的方法转移到计数原理上来，通过教师问题的进一步引导抽象成了科学的探究方法——计数原理。根据展开式系数即同类项的个数这一结论，引导同学们通过一般到特殊，用组合计数模型对各项系数进行研究。这样将二项式的展开式的运算逐渐抽象为组合过程，实现知识的融合和升华，是二项式定理学习的切入口，这种由表面特征思考内在规律、生成知识的过程，这是数学定理学习的一般历程。

4.4熟能生巧，概括定理

教师：根据所得(ab)3展开式的系数由来，你能否得概括(ab)n的展开式中0,1,,k,,n的值？

学生思考小组探究后形成如下结论：（如果不完善需教师补充说明）0nknkknn(ab)nCnaCn1an1bCnabCnb

(ab)n是n个(ab)相乘，展开式每一项都满足ankbk（k{0,1,,n}）．对项ankbk（k{0,1,,n}）的系数，我们可以看成如下问题：

在n个括号中选择k个括号选“b”

，剩余括号选择“a”相乘得到每一项，可这样设计这样的计数模型，要做这件事，可分成两步来完成：

k（1）在n个括号中选择k个括号选“b”，有Cn种选择；

（2）剩余括号选择“a”就只有1种选法，

k1Cnk种选法．

根据分步计数原理有Cn

kk所以，项ankbk的同类项有Cn，故ankbk的系数为Cn（k{0,1,,n}）．

所以，(ab)n展开式每一项为Cnaknkkb（k{0,1,,n}）．

教师：上述公式叫二项式定理，展开式共有n1项，其中各项的系数Cnk（k{0,1,,n}）叫做二项式系数．（教师完整版书在黑板上）

设计意图：让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型的在数学应用中的价值．在已有知识和经验的充分融合下，在理解展开式算法的基础上，将二项展开式的问题一般化，经历展开式规范化，形式化过程，过渡到符号表示，形成定理，最终概括出二项式的定理的具体内容，这也是多角度、深层次理解定理所必须经历的过程。教学时注意学生的充分讨论，自主探究，了解知识和方法的来龙去脉，体验从具体到抽象的概括过程，提高主动获取数学定理的能力。另外，教师需强调规范表达和书写，给学生一个良好的示范。

教师：那我们现在来解决前面的问题，82018天后还是星期五吗？

学生：根据我们今天学习的二项式展开式可知，

01k2017120180(71)2018C201872018C201872017C201872018kC20187C20187，

所以82018天后还是星期六。

设计意图：本节课做到前后呼应，当堂解决前面的问题，进一步加深学生对二项式理解和应用。练习是对定理巩固，思考练习是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

4.5课时小结，提炼升华

教师：请同学们谈谈这节课有哪些感受，有什么

学生：本节课获取二项式定理的过程：先由特殊的展开式猜想一般的展开式项的3结构，再通过对特殊形式(ab)展开式项的研究得到(ab)的展开式项的规律，n最后进行概括定理；课堂展示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体现了数学逻辑推理和概括；最后，得到结论后，要以此为模型进行应用，体现了数学模型的应用．

设计意图：引领学生回顾、思考如何得到的二项式定理，完成定理的发现过程的

感知和猜想，抽象和概括，获得元认知的培养，以积极的情感、态度、体验，总结数学的基本方法，形成基本数学思想，体现数学的核心素养。