1.3 二项式定理（通用）教学设计及教案分析

二项式定理及应用

【学习目标】

1.能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【知识要点】

1.二项式定理

n1n－1n－rrnn(a＋b)n＝C0b＋…＋Crb＋…＋Cnb(n∈N*),这个公式所表示的定理叫做二na＋Cnana项式定理,右边的多项式叫做(a＋b)n的__

__；其中的系数

__

__叫__

__系数,与展开式中项的系数__

__相同. n－rrn－rr2.(a＋b)n展开式中的Crb叫二项展开式的_ __,用Tr＋1表示,即Tr＋1＝Crb. nana3.二项展开式的特点

(1)项数为__

__项. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为__

__. (3)字母a按__

__排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零；字母b按__

__排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.

二项展开式中的特定项问题

2例1(1)二项式x＋2的展开式中的常数项是(

) xA.180

B.90

C.45

D.360 k52105k10－k2kk5－k2【解析】x＋x2的展开式的通项为Tk＋1＝C10·(x)＝2Cx,令5－k＝102x20,得k＝2,故常数项为22C210＝180. n1(2)若x－xx的展开式中含有x2项,则n的最小值是(

) A.15

B.8

C.7

D.310

11－xx的展开式的通项是Tr＋1＝Cr【解析】二项式·nxxr－nnn－r5rrr·(－xx)＝Cn·(－1)·x22×（n＋2）5.令r－n＝2,即r＝有正整数解.又2与5互质,因此n＋2必是5的倍数,即n＋225＝5k,n＝5k－2,n的最小值是3. (3)在(2＋x)5的展开式中,x3的系数为________.(用数字作答) 5－rr3【解析】设通项为Tr＋1＝Crx,令r＝3,则x3的系数为C5×22＝10×4＝40.52【点评】求二项展开式中的项的3种方法

kn－kk求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk＋1＝ Cnab的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k＝0,1,2,…,n).

(1)第m项：此时k＋1＝m,直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.

2n例2已知x－2(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. x(1)求展开式中各项系数的和；

3(2)求展开式中含x2的项；

4【解析】由题意知,第五项系数为C4n(－2), 4C410n（－2）22第三项的系数为Cn(－2),则有2, 2＝1Cn（－2）化简得n2－5n－24＝0,解得n＝8或n＝－3(舍去).

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.

2kk8－k(2)通项Tk＋1＝C8(x)·－x2

8－k8－k3－kk＝C8(－2)·x22k,令－2k＝,则22k＝1, 33故展开式中含x2的项为T2＝－16x2.

多项展开式中的特定项或系数问题

例3(1)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中,含x2项的系数是(

) A.10

B.15

C.20

D.25 222【解析】含x2项的系数为C22＋C3＋C4＋C5＝20. (2)(x2＋x＋y)5的展开式中,x5y2的系数为(

) A.10

B.20

C.30

D.60 【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5, 232含y2的项为T3＝C25(x＋x)·y.

415其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·x＝C3x.

21所以x5y2的系数为C5C3＝30,故选C.

法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2221的系数为

C5C3C1＝30,故选C.

3)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a＝________. 【解析】设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.

令x＝1,得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①

令x＝－1,得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①

－②,得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32,∴a＝3.

(4)若多项式x5＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10,则a4＝________. 【解析】以x－1代x可得(x－1)5＋(x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10,则a4为左边6x4的系数,即－C15＋C10＝205.【点评】1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定的项,再求和即可.

2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.

3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 二项式系数的和与性质

例4在(2x－3y)10的展开式中,求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 【解析】设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10,(*)

各项系数和为a0＋a1＋…＋a10,奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10,偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9,x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9,x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

11010(1)二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2.

(2)令x＝y＝1,各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

2109(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C10＋…＋C10＝2, 199偶数项的二项式系数和为C10＋C310＋…＋C10＝2.

(4)令x＝y＝1,得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1,①

令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1), 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510,②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510, 1＋510∴奇数项系数和为；

2①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510, 1－510∴偶数项系数和为.

21－510(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；

21＋510x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.

2点评】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝y＝1即可.

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和f（1）＋f（－1）f（1）－f（－1）为a0＋a2＋a4＋…＝,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 22