一 比较法教案及板书设计

比较法

一、教学目标

（一）核心素养

在已学习过知识的基础上，运用转化的方法，得出新结论. （二）学习目标

1.能熟练地运用作差比较法证明不等式。

2.能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

3.能运用比较法证明一些重要不等式。

（三）学习重点

能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式

（四）学习难点

能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第21页至第22页，思考：比较两个实数的大小，有哪些方法？

（2）想一想：比较法的两种思路有什么区别？

2.预习自测

（1）证明不等式a2b22ab时，最好选用什么方法？

【知识点】比较法

【解题过程】(a2b2)2ab(ab)2

【思路点拨】注意取等条件

【答案】比较法. （2）什么情况下使用作商比较法？

【知识点】作商比较法

【解题过程】明确正负以及与指数相关时用作商比较法

【思路点拨】明确正负以及与指数相关时用作商比较法

【答案】明确正负；与指数相关时.

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）abab0;abab0;abab0

（2）作差比较法步骤：作差，变形，定号，结论. （3）如果a,b,c是实数，那么|ac||ab||bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立. 2.问题探究

探究一

作差比较法

●活动①

运用作差比较法证明不等式

要证明ab，最基本的方法就是证明ab0，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小. 例1

已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 【知识点】作差比较法. 【解题过程】(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ab)

a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab). 因为a,b都是正数，所以ab0，又因为ab，所以(ab)20. 于是(ab)2(ab)0，(a3b3)(a2bab2)0.所以a3b3a2bab2. 【思路点拨】可以把不等式两边相减，通过适当的恒等变形，转化为一个能够明确确定正负的代数式. 【答案】见解析

同类训练

如果用akg白糖制出bkg溶液，则糖的质量分数是白糖，此时糖的质量分数增加到a，若在上述溶液中再添加mkgbam，将这个问题抽象为数学问题，并给出证明. bm【知识点】糖水不等式；作差比较法

【数学思想】转化与化归思想

【解题过程】可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知a,b,m都是正数，且ab，则aam，证明如下：

bbmama(am)ba(bm)bmamm(ba).因为ab，所以ba0；又因为a,b,m都bmbb(bm)b(bm)b(bm)

是正数，所以m(ba)0,b(bm)0，所以m(ba)amaaam. 0，即0，所以bmbbbmb(bm)【思路点拨】显然a,b,m都是正数，且ab.生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中加糖，糖的质量分数增大. 【答案】见解析

以上不等式称为糖水不等式，用文字语言描述即为：正分数的分子分母都加上同一个正数，越加越大. 【设计意图】理解和掌握作差比较法. ●活动②

运用作差比较法比较代数式的大小. 例2

比较x2x1与(x1)2的大小. 【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】(x2x1)(x1)2x2x1x22x1x

当x0时，(x2x1)(x1)20，所以(x2x1)(x1)2；

当x0时，(x2x1)(x1)20，所以(x2x1)(x1)2；

当x0时，(x2x1)(x1)20，所以(x2x1)(x1)2；

【思路点拨】注意对最后结论的讨论

【答案】见解析

同类训练

已知a,b,c(0,)，比较a2b2与abab1的大小. 【知识点】作差比较法

1【解题过程】因为(a2b2)(abab1)a2b21abab[(a2b22ab)

21(a212a)(b212b)[(ab)2(a1)2(b1)2]0

2所以a2b2abab1

【思路点拨】注意作差比较法变形的技巧

【答案】a2b2abab1

【设计意图】通过例题的讲解，加深对作差比较法的认识. 探究二

作商比较法

●活动①

作商比较法

除了把不等式两边相减，通过比较差与0的大小来证明不等式外，有时也通过把不等式两边相除，转化为考察所得的商式与1的大小关系，这就是作商比较法，它的原理如下：当b0时，abaaa1;ab1;ab1

bbb例3

已知a,bR，求证aabbabba. 【知识点】作商比较法

aabb1a【解题过程】baaabbbaaab()ab()ab

abbbaa1,ab0，所以()ab1，即aabbabba；

bbaa当ab时，1,ab0，所以()ab1，即aabbabba；

bbaa当ab时，1,ab0，所以()ab=1，即aabbabba；

bb当ab时，综上所述，aabbabba. 【思路点拨】因为a,bR，所以aabb0,abba0，可用作商比较法. 【答案】见解析

同类训练

求证：16181816

【知识点】作商比较法

【解题过程】因为1618,18160，且所以16181816. 【思路点拨】使用作商比较法时，要注意前提条件

【答案】见解析

【设计意图】掌握运用作商比较法证明不等式. 3.课堂总结

知识梳理

1616162216821616()()()()1，

1816182999189849872

（1）abab0;abab0;abab0. aaa1;ab1;ab1. bbbaam（3）已知a,b,m都是正数，且ab，则. bbm（2）当b0时，ab重难点归纳

（1）作差比较法及作商比较法

（2）运用比较法解决实际问题

（三）课后作业

基础型

自主突破

b2a21.若a0,b0，则p与qab的大小关系为(

) abA.pq

B.pq

C.pq

D.pq

【知识点】作差比较法

b2a2(ba)2(ba)【解题过程】为pq(ab)0，所以pq. abab【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】B 2.已知a,b都是正数，Pab,Qab，则P,Q的大小关系是(

) 2A.PQ

B.PQ

C.PQ

D.PQ

【知识点】作差比较法

【解题过程】因为a,b都是正数，所以P,Q0，

ab2ab(ab)2所以PQab0，所以P2Q2.所以PQ. 2222【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】D 3.已知a,b,c均大于1，且logaclogbc4，则下列一定正确的是(

) A.acb

B.abc

C.bca

D.abc

【知识点】对数运算；基本不等式

111(logcalogcb)2【解题过程】logaclogbc4

4logcalogcblogcalogcb441(logc(ab))2所以(logc(ab))21logc(ab)1，所以abc. 44【思路点拨】掌握对数运算与基本不等式

【答案】B 4.在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1b10，a3b30，a1a3，则a5与b5的大小关系为(

) A.a5b5

B.a5b5

C.a5b5

D.不确定

【知识点】作差比较法；等差与等比数列的性质. a32【解题过程】由等比数列的性质知a5，由等差数列的性质知b5=2b3b1.又a1a3，

a1a32a32a322a3a1a12(a3a1)2故a5b52b3b12a3a10，因此，a5b5. a1a1a1a1【思路点拨】掌握作差比较法及等差与等比数列的性质

【答案】A 5.已知a0且a1，Ploga(a31),Qloga(a21)，则P,Q的大小关系是(

) A.PQ

B.PQ

C.PQ

D.大小不确定

【知识点】作差比较法；对数运算

a31【解题过程】PQloga(a1)loga(a1)loga2.当0a1时，0a31a21，故a132a31a31021，所以loga20,所以PQ. a1a1a31a311，所以loga20,所以PQ. 当a1时，0a1a1，故2a1a123【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】A

116.若1ab0，则,,a2,b2中最小的是________. ab【知识点】比较法

【解题过程】依题意，有1b2. b11211,ab2，故只需比较与b2的大小.因为b20，0，所以abbb【思路点拨】掌握比较法

1【答案】

b能力型

师生共研

7.设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a,b应满足的条件是________. 【知识点】作差比较法

1【解题过程】由xy得(a2b25)(2aba24a)(ab1)2(a2)20，故a2,b不2同时成立. 【思路点拨】掌握作差比较法

1【答案】a2,b不同时成立. 28.若0ab1，Plog1(2ab1),Q(log1alog1b),Mlog1(ab)，则P,Q,M的大小关系22222是

. 【知识点】比较法；基本不等式

【解题过程】因为0ab1，所以log1(2abab，所以2abab1ab，所以)log1(ab)(log1alog1b)，即PQ，又222222log1(2ab)log1(ab)，即PM，所以QPM. 22【思路点拨】掌握比较法及基本不等式

【答案】QPM

探究型

多维突破

9.已知ab0,cd0，macbd,n(ab)(cd)，则m与n的大小关系(

)

A.mn

B.mn

C.mn

D.mn

【知识点】作差比较法

【解题过程】因为ab0,cd0，所以acbd0，(ab)(cd)0，

所以m0,n0. m2n2acbd2abcd(ab)(cd)acbd2abcd(acbd)20

所以m2n2，所以mn. 【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】B 10.已知a0，对于大于1的自然数n，总有n1annan1，则a0的取值范围是________. 【知识点】糖水不等式；幂函数性质

【解题过程】因为0ann1an1n，且nn1，所以0a1. n1n【思路点拨】掌握幂函数性质，使用糖水不等式时，注意真分数的前提条件

【答案】0a1

自助餐

11.若ab0，下列各式中恒成立的是(

) b21b22aba11A.2

C.ab

D.a2bb



B.2a1aa2bbab【知识点】比较法

b21b22

【解题过程】由糖水不等式可知，2a1a【思路点拨】掌握由糖水不等式

【答案】B 12.已知实数a,b,c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a,b,c的大小关系是(

) A.cba

B.acb

C.cba

D.acb

【知识点】作差比较法

【解题过程】cb44aa2(2a)20，所以cb；

132c108a4a2，所以c54a2a2，ba21，所以baa2a1(a)20，所24

以ba. 【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】A 13.已知下列不等式：①x232x(xR)；②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③.其中正确的个数为(

) a2b22(ab1)（a,bR）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【知识点】比较法

【解题过程】x232x(x1)220；

(a5b5)(a3b2a2b3)(ab)2(ab)(a2abb2)；a2b22(ab1)(a1)2(b1)2≥0 【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】B 14.2a_____1(填“”“”“”或“”). 1a2【知识点】作差比较法

2a2a1a2(1a)2【解题过程】10

1a21a21a2【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】

15.622与57的大小关系是___________. 【知识点】作差比较法

【数学思想】转化与化归思想

【解题过程】622(57)(67)(85)

(67)2(85)22422400，

所以6785，即62257. 【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】62257

16.设不等式|2x1|1的解集为M. (1)求集合M. (2)若a,bM，试比较ab1与ab的大小.

【知识点】含绝对值不等式的解法；作差比较法

【解题过程】(1)由|2x1|1得12x11，解得

0x1.所以M(0,1). (2)由(1)和a,bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故ab1ab. 【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法及作差比较法

【答案】（1）M(0,1)

（2）ab1ab