一 数学归纳法优秀说课稿

数学归纳法

【教材】人教A版高中数学选修4-5第四讲第一节 【课时安排】第1课时

【教材分析】数学归纳法是一种独特的证明方法，它是解决求数列的通项公式、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的新方法。由于中学教材中没有皮亚诺公理或最小数原理作前提，这就使其教学变得无“法”可依。数学归纳法的操作性理解问题不大，但其关系性理解却十分困难。为克服这一困难，本节课的定位是：既要教操作步骤，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重点放在对蕴含关系p→q的理解上。

【学情分析】

⒈认知基础：①之前已学过归纳推理，具有会证明由归纳推理得到的结论的心理需求；②生活经验，如：多米诺骨牌、数的顺序、基数、后继元等性质，以及用“有限元”去代替“无限”的经验。

⒉认知障碍：①两步骤的必要性与合理性；②用“有限的两步骤”来代替“无限

的递推过程“这一转化。

【教学目标】

☆知识与技能

①理解两步骤的必要性与合理性；②会用它证明一些与正整数有关的问题。

☆过程与方法

①借助具体问题与直观模型，经历数学归纳法的的“再创造”过程；

②理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识。

☆情感态度价值观

喜欢数学归纳法，并体验以有限驾驭无限，以静制动的威力。

【教学重点】数学归纳法的“再创造”过程。

【教学难点】①p(k)不是作为被证的事实，而是作为假设；

②对蕴含关系p(k)p(k1)的不理解。

【教学关键】类比多米诺骨牌模型。

【教学方法】问题驱动、引导发现法。

【教学手段】计算机、PPT、几何画板。

【教学流程】

【教学过程设计】

（一）设置障碍，激发动机

回顾：在前面学习“归纳推理”的时候，我们遇到过这样的一个问题：

例：已知数列{an}中，a11，an1an1an设置障碍

激发动机

回顾旧知

寻找思考方向

设计意图：学生的学习被“抛锚”到“真实的任务情境”中，便会产生“心愤愤”而“口悱悱”的状态，形成主动寻求知识的动力！

设计意图：了解学生原有的认知结构，结合现有的基础，从“过去的经验”中为破解难点搭建阶梯，使学生能顺阶而上。

设计意图：通过实验，引导学生感悟其中的数学原理。实现学生的思维由隐性到显性、由模糊到清晰、由片面到完整的逐步过渡。

设计意图：类比实验的结果去证明引例的猜想，是提炼得出数学归纳法基本原理的桥梁，是理解数学归纳法的两个步骤的关键。

设计意图：从实验到原理，始终坚持在学生的“最近发展区”设置问题，清晰地反映了生活问题—数学问题—数学形式化的发展轨迹。

设计意图：根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表达规范。

设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法。

三次实验

搭建脚手架

类比迁移

提炼两个条件

概括提炼

形成科学方法

反馈练习

巩固提高

课堂小结

布置作业

。试求数列的通项公式？

问题1：大家还记得当时我们是怎样解决的吗？

设计意图：学生是在学习了“合情推理”与“演绎推理”的基础上学习数学归纳法的，该问题起到了先行组织者的作用，以学生已有的知识经验为基础，建立新旧知识间的内在联系，便于学生完成对新知识的迁移。

学生活动后，投影展示学生解答的思路：

①观察：根据已知的递推公式an1an1an；

②归纳：计算出前四项：a11，a2aa1a111，a32，a43；

1a121a231a34③猜想：由此大胆猜想，该数列的通项公式为an；

④证明？？？

问题2：上面的猜想真的正确吗？我们能证明吗？

师生交流后，教师概括得到：

首先，一个猜想的正确性需要严格的证明来保证；

第二，这是一个与正整数n有关的命题，正整数有无限多个；

第三，人的生命有限，即使穷尽一生，也无法一一验证。

1n

问题3：怎样才能用有限的生命去对抗无限的验证呢？必须找到新的方法！

设计意图：学生的学习被“抛锚”到“真实的任务情境”中，他们便会面向生活与实践，为解决问题而学习；便会产生“心愤愤”而“口悱悱”的状态，形成主动寻求知识的动力！

（二）回顾旧知，寻找思考方向

问题4：在以前的数学学习中，我们有遇到过类似的问题吗？

设计意图：学生在了解了“矛盾”之后，如何寻找思考的方向是一个难点。这就需要了解学生原有的认知结构，结合现有的基础，从“过去的经验”中为破解难点搭建阶梯，使学生能顺阶而上。

以立体几何中的“线面垂直”为例。证明“线面垂直”主要有两种方法：

①按定义证：证明直线与平面内的“任意一条”直线都垂直。 ②按判定定理证：证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直即可。

结论：只要通过对“两条”相交直线的验证，就可以确保对“任意一条”直线也成立。实现了无限到有限的转化！

问题5：由这个例子，你们可以得到什么启发？

设计意图：

“把无限步的验证转化为对有限步的验证”是学生思维中的难点，也是学生探寻数学归纳法的情感动力。线面垂直判定定理的学习，为学生积累了经验，提供了参照。通过师生互动，明确了解决矛盾的方向：化无限为有限。

思考的方向：能不能找到一种方法，只要通过对有限个步骤的验证，就能确保对无限个步骤也能成立？

（三）三次实验，搭建脚手架

教师指出：究竟该通过“怎样的有限步”才能确保无限步成立呢？为解决这个问题，引入多米诺骨牌实验！

师生共同欣赏多米诺骨牌视频:

以让成千上万的骨牌全部倒下？

设计意图：数学归纳法具有高度抽象性，需要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材以帮助，引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果，抽象出数学归纳法原理，多米诺骨牌便是充当这样一个角色。

实验一：如图，课件展示动画，老师用手推倒第1块骨牌，然后第2块骨牌、第3块骨牌……紧跟着全部倒下，实验成功。

问题6：为什么轻轻一推，就可

实验二：如图，课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验1相同，但是第1块骨牌固定住了，无法推倒，自然其他骨牌也就没有倒下，实验失败。

问题7：对比实验一和实验二，讨论实验失败的原因？

结论：实验成功所需具备的第一个条件是：第1块骨牌必须倒下。………①

实验三：如图，课件展示动画，在该实验中，某两块骨牌间距过大，而其它间距保持不变。老师用手推倒第1块骨牌，还是没有全部倒下，实验失败。

问题8：对比实验一和实验三，讨论实验失败的原因？

结论：若第k块倒下，则第k1块也倒下。…………………………②

问题10：若骨牌足够多，这两个条件能保证实验无限进行下去吗？为什么？

设计意图：学生能否准确地回答“为什么”，是衡量其是否深刻理解其中蕴含的原理的关键。这一问题不能简单化，必须由学习者自己反思、体验、感受。

学生讨论、叙述，教师总结：这个过程可用框图1表示。

第1块倒下

条件②

条件②

条件②

第2块倒下

框图1

第3块倒下

问题11：你认为条件①的作用是什么？

学生容易得到：起步作用，是必要条件，没有它后面摆得再好也没用。

问题12：从框图1看，条件②起到关键作用，它的作用是什么？

师生讨论，可以得到：传递作用。由前一块倒下可以推出后一块也会倒下。

设计意图：通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同的角度，通过对比，感悟其中的数学原理。实现学生的思维由隐性到显性、由模糊到清晰、由片面到完整的逐步过渡。也为后来说明用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可奠定了基础。

（四）类比迁移，提炼两个条件

教师指出：多米诺骨牌实验使我们看到方法的影子，但毕竟不能用来证明数学问题，需要抽出蕴含的原理，迁移到数学问题。

迁移一：将骨牌实验换成数学问题，回到最初的例子。

例：已知数列{an}中，a11，an11nan1an。试求数列的通项公式？

要证明猜想an，即证明下面与正整数有关的无限多个等式成立：

1111a1,a2,a3,ak,

123k问题13：类比多米诺骨牌实验的思维过程，概括证明该猜想的步骤。

设计意图：类比多米诺骨牌实验的结果去证明引例的猜想，是提炼得出数学归纳法基本原理的桥梁，是理解数学归纳法的两个步骤（特别是“归纳递推”的本质）的关键。

帮助学生理解：“保证第1块倒下”的数学模型是“证明第1个等式成立”；“保证若第k块倒下，能使第k1块也倒下”的数学模型是“证明若第k个等式成立，能推出第k1个等式也成立”。

一块骨牌

一个等式

骨牌全部倒下

等式全部成立

问题14：这两个步骤足以保证无限多个等式都成立吗？为什么？

有了多米诺骨牌实验的铺垫，这里容易理解。仍可用如下框图2表示：

步骤②

步骤②

步骤②

n=1成立

n=1成立

框图2

n=1成立

迁移二：让学生就该数学问题进行具体尝试，能否做到这两步？

证明：①我们已经验证第一个等式成立。②若第k个等式成立，即akak1，可推出第k1个等式成立。

1ak11k1k1k1，则：kak1事实告诉我们，这样的方法是可行的！我们并没有对所有情况进行一一验证，而是利用递推思想，完满实现了无限到有限的转化。

（五）

概括提炼，形成科学方法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

①（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

*②（归纳递推）若nk(kn0,kN)时命题成立，证明当nk1时命题成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法（mathematical induction）。

其中，步骤一是归纳递推的前提和基础，步骤二是实现无限到有限的桥梁和纽带，两者缺一不可！

设计意图：从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题——数学问题——数学形式化的发展轨迹。秉承在学生的“最近发展区”内设置问题的理念，学生经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理逐级抽象为数学原理的数学化过程。

（六）反馈练习，巩固提高

例：用数学归纳法证明：当nN*时，135(2n1)n2．

设计意图：使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表达规范。

（七）课堂小结，布置作业

小结：我们为什么要学习数学归纳法？我们是怎么探索的？数学归纳法的步骤是什么？它的核心思想是什么？

作业：⒈上网搜索了解数学归纳法的发展史；

⒉已知数列1111,,,,,，计算S1,S2,S3,S4，根据计算结果，1447710(3n2)(3n1)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明。

设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法。

【板书设计】

2.3 数学归纳法

⒈猜想：an1(nN*) 例题讲演：

n⒉证明：

①

无限 有限 ②

类比多米诺骨牌

3.数学归纳法