二 一般形式的柯西不等式课件配套优秀教案设计

3.2

一般形式的柯西不等式

教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；

培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程：

一、

温故知新

1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅2当bcad时取等号

2、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd

a2b2c2d2acbd

显然当a2b21,c2d21时，acbd1

3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,是两个向量，则

当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么

xyxy2221212222x1x2y1y2

2222x1x3y1y35、配凑的思想

x2x3y2y3x1x2y1y2

22二、

新课：推广柯西不等式

1、由柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则

这里,是平面向量，若,为空间向量呢，

构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为，

则仍有cos

即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32

2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b3

当且仅当aikbii1,2,3时取等号

1 / 4

2、归纳推理：n维上的柯西不等式：

a21a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn

2证明：回顾前面的证法

视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn

则不等式为B2AC

构造二次函数yAx22BxC

即fxa12a22当a1a2当a1,a2,an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2

an0或b1b2bn0时不等式显然成立

,an至少有一个不等于0时，a12a22222an20

而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。

2所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn2222220

得：a1a2anb1b2bn222222abab11222anbn

当且仅当fx有唯一零点时，0以上不等式取等号。

此时有唯一的实数x使得aixbi0i1,2,若x0，则bi0i1,2,,n

,n，不等式成立

,n

1若x0，则aibikbii1,2,x综上当且仅当bi0i1,2,推测正确

,n或aikbii1,2,,n时不等式取等号。

3、定理：一般形式的柯西不等式：

设a1,a2,an;b1,b2,,bnR

bn2a1b1a2b2anbn

2则a12a32nnan2b12b222n22即akbkakbk

k1k1k1当且仅当bi0i1,2,,n或aikbii1,2,,n时不等式取等号。

2 / 4

4、思考：一般形式的三角形不等式及其证明

2a12a222anb12b22bna1b1a2b2222anbn

24、柯西不等式的应用：

例1、已知a1,a2,anR，求证：1a1a2nana12a22an2

证明：套用柯西不等式

22222111aa12n个an21a11a2an

an2原式得证。

21an

2所以na12a22即1a1a2nan2a1a22ana12a22例2、若a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2b2c2d2abbccbda

证明：配凑柯西不等式

a2b2c2d2b2c2d2a2abbccbda

2因为a,b,c,d是不全相等，所以所以abcd22222abcd不能成立，

bcda2abbccbda

即a2b2c2d2abbccbda

abcbca练习讨论：若a,b,c,d是正数，求证：9

bcaabc证明：

222222bcbcaabcbcaaabc

bcaabcbca1119例3、已知x2y3z1,求x2y2z2的最小值。

解：配凑柯西不等式得

2x2y2z2122232x2y3z1

21

14xyz1131当且仅当即x,y,z时x2y2z2取最小值

1231471414所以x2y2z2

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例4、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？

解：设截得的三段长分别为x,y,z，则xyzm

1xyz则三个正方形的面积和为：Sx2y2z2

44416因为，x2y2z2121212xyzm2

2222当且仅当xyz所以Smin答：

m时取等号

312m222xyz有最小值

1648选用：例5、已知a1,a2,,an都是正实数，且a1a2an1

a12a22求证：a1a2a2a3证明：由柯西不等式得：

an12an21

an1anana121左边=a1a2a2a32an1anana1

a1aa1212a2aa232a3aa3422an1aan1nanaa2n222

a1a22a2a32an1an2ana1

2a1aa12a2aa232a3aa3422an1aan1nanaa2n2

a11a1a22a1a2a2a2a3a2a3a1a1a2a1a2an1an1anan1an1a1a22an2anana1ana1

1

2所以原式得证

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