3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计第二课时

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、内容及其分析

本次内容为复数代数形式的加减运算及其几何意义的教学。复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在这种规定与实数的加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立。由减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算的规定，就可以得到复数减法、除法的运算法则。复数代数形式的四则运算可以类比代数形式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2=-1，将它们归结为实数的四则运算。复数的加法，减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则来进行，这就把复数及其加、减法运算与向量及其加、减运算完美地统一起来了。本节课的教学重点是复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；解决它关键是能够将实数的加减法过度过来，并且能够用向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则来掌握复数的加减法的几何意义。

二、目标及其分析

目标：掌握复数代数形式的加、减运算及其几何意义；并在其过程中体会数学思想方法－类比法。

解析：其运算法则类似于多项式的合并同类项；运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i。复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行（满足平行四边形、三角形法则）。

三、问题诊断分析

在学习复数代数形式的加减运算及其几何意义时，要引导学生运用类比的数学思想来分析复数，以便学生能牢固掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。

四、教学支持条件分析

在本节课复数代数形式的加减运算的几何意义的教学中，准备使用多媒体课件教学。因为使用多媒体，有利于学生用平行四边形和三角形法则更加形象的掌握复数的加减运算的几何意义。

[来源学科网ZXXK][来源:学科网]

五、教学过程：

（一）、复习：

1、复平面内哪些和复数有一一对应关系？

2、试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,0,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3、同时用坐标和几何形式表示复数z114i与Z272i所对应的向量，并计算OZ1OZ2。向量的加减运算满足何种法则？

4、类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

（二）、新课讲授：

问题一：复数的加法运算及其几何意义是什么？

问题1：复数与向量有什么关系？

复数Zabi一一对应平面向量OZ；复数Zabi

复数的加法可以按向量加法的法则进行

一一对应复平面内的点(a,b)

问题2：由复数与向量之间联系你能得到什么结论？

问题3：向量的加法是怎样定义的？

OZ1OZ2(ac，bd)[来源学科网]

问题4：类比向量的加法，复数的加法可以该怎样进行？

由平面向量的坐标运算：

OZ1OZ2(ac，bd)，即得OZ与复数(ac)(bd)i对应。

问题5：复数的加法法则是什么？

z1abi与Z2cdi，则Z1Z2(ac)(bd)i。

两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 其运算法则类似于多项式的合并同类项

例1：计算

（1）(14i)+(72i) （2）(72i)+(14i)

设计意图：让学生能体会复数满足的加法运算-----交换律、结合律

变式练习：

（1）[(32i)+(43i)](5i) （2）(32i)+[(43i)(5i)]

问题7：观察（1）（2）的计算，复数的加法运算满足什么运算规律？

对于任意的Z1,Z2C有：

交换律：z1z2z2z1。

问题8：观察（3）（4）的计算，复数的加法运算满足什么运算规律？

对于任意的结合律：试一试：

z1，z2，z3C，有：

。

(z1z2)z3z1(z2z3)1(7(4,)2)i标出例1中的（1）（3），再画出求和后所对应的向量。

i，(32i),(43i),(5i)所对应的向量，问题9：变式训练中你有什么发现？

复数加法的几何意义：

复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

问题二：复数的减法及几何意义是什么？

类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算, 即若Z1ZZ2，则Z叫做Z2减去Z1的差,记作ZZ2Z1。

问题10：若Z1ab,Z2cdi，试确定ZZ1Z2是否是一个确定的值？

（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）

问题11：复数的减法法则是怎样的？

(abi)(cdi)(ac)(bd)i，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

问题12：复数减法的几何意义是什么？复数减法的几何意义

[来源学科网Z,X,X,K]

设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应

根据向量加法的三角形法则有：OZ2Z2Z1OZ1．于是：OZ1OZ2Z2Z1．

由平面向量的坐标运算：OZ1OZ2(ac，bd)，即得Z2Z1与复数(ac)(bd)i对应．

于是得到复数的几何意义为：

两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．

例2：计算：

（1）(14i)-(72i)

（2）(52i)+(14i)(23i)

[来源:Z.xx.k.Com]

（3）(32i)-[(43i)(5i)]

设计意图：让学生能掌握复数的减法运算。

变式练习：

已知复数Z=1-2i，试计算Z2i，Z3，Z(54i)2i

六、小结：

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。

七、目标检测：

课本58页1、2题。

八、配餐作业：

A组题

1、若z12i,z23ai(aR),z1z2的和所对应的点在实轴上,则a为（

D ）

Ａ、3 Ｂ、2

Ｃ、1

Ｄ、1

2、复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则

（

D ）

Ａ、a2或a1

Ｂ、a2且a1

Ｃ、a0

B组题

Ｄ、a2或a0

3、计算

（1）84i5 （2）54i3i （3）C组题

4、若(310i)y(2i)x19i，求实数x,y的取值。

5、变式：若(310i)y(2i)x表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

6、三个复数Z1,Z2,Z3，其中Z13i，Z2是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定Z2,Z3的值。

九、教学反思

23i29i32i