3.2.2 复数代数形式的乘除运算说课稿【一等奖】

复数代数形式的乘除运算教学设计

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的

逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接

受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体

会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具：多媒体、实物投影仪。

教学过程：

学生知识回顾： 21.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即

i1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2.i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x=－1的一个根，方程x=－1的另一个根是－i

3.的周期性：i 4n+122=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i=1 4n4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 7.复数集与其它数集之间的关系

8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

9. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

10．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 11. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 12. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 13. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)z1z2= z2z1

(2)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

2z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i). 2

3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数

通常记复数zabi的共轭复数为zabi

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi) (c+di)或者5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. abi

cdicxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd

解这个方程组，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2 i. 222cdcd2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将2abi的分母有理化得：

cdi

原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的2232的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c+d是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

课堂练习：

1.计算:(1+2i)

2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) 3.计算(1i)

4.若zC且(3z)i1,则z_____. 225.已知复数xx2(x3x2)i(xR)是420i的共轭复数，求x的值． 326.计算

⑴(7i)(34i) ⑵(1i211) ⑶

1i32i32i7.若x

113_____. i,则2xx22本节小结：

(1)复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i

(2)共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数为z=a-bi

(3)复数除法法则：(a+bi)÷(c+di)=

课后作业：课本第112页 习题3. 2 A组4，5，6 B组1，2 课后强化练习

acbdbcad2i

222cdcd2i1．复数等于（ ）

1+iA．4i

2．化简B．4i

C．2i

D．2i

224i的结果是（

）

2(1i)

Ｂ．2i

Ｃ．2i

Ｄ．2i

Ａ．2i

3．复数1i3i的值是（

）

1i（B）1

（C）1

（D）

（A）0

4．若a为实数，2ai12i

＝-2I，则a等于( ) （A）2

（B）-2

（C）22

（D）-22

5．是虚数单位，6.计算：

510i

12i

．（用abi的形式表示，a，bR）

34i (1)(7-6i)(-3i) (2)(3+4i)(-2-3i) (3)(1+2i)(3-4i)(-2-i) 7.计算：

(1)(32i)(32i) (2)(1i) (3)i(2-i)(1-2i) 8.计算：

（1）

21i7i(1i)(2i) (2) (3) (4)

1i34ii