一 比较法教学目标

证明不等式基本方法：比较法（曹祖银）

学习目标

1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．

知识点一

作差比较法

思考

比差法的理论依据是什么？

梳理

作差比较法

(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔________；a－b＝0⇔a＝b. (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定______________，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．

知识点二

作商比较法

a思考1

对于两个正数a，b，若＞1，能够判断a，b的大小吗？

b

思考2

类比作差比较法，请谈谈作商比较法．

a梳理

(1)作商比较法：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明＞1；要证明b＞a，只要证b明______________．这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．

(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

①b＞0，若____________________，则a＞b；若____________________，则a＜b；

②b＜0，若____________________，则a＜b；若____________________，则a＞b. (3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与____________；⑤得出结论．

类型一

作差比较法证明不等式

例1

已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.

反思与感悟

作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小．

跟踪训练1

已知a≥1，求证：a＋1－a＜a－a－1.

类型二

作商比较法证明不等式

例2

已知a＞0，b＞0，求证：ab≥(ab)

引申探究

1．若a＞0，b＞0，求证：(ab)ab2abab2. ≥abba. 2．当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小．

反思与感悟

作商比较法证明不等式的一般步骤

(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．

(2)变形：化简商式到最简形式．

(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论．

类型三

比较法的应用

a＋ma例3

证明：若a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞(糖水不等式)．

b＋mb

反思与感悟

比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛．

跟踪训练3

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

1．作差比较法证明不等式的技巧

(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．

2．作商比较法适用证明的不等式的特点

适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较．

课后作业：

1．已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数为(

) A．0

B．1 C．2

D．3 2.1a＜1成立的充要条件是(

) A．a＞1

B．a＜0 C．a≠0

D．a＞1或a＜0 3．若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(

) A．w＞u

B．w＜u

C．w≥u

D．无法确定

4．a，b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是(

A．P＞Q

B．P＜Q

C．P≥Q

D．P≤Q

5．设a＞b＞0，求证：a2－b2a－ba2＋b2＞a＋b.

)