一 比较法PPT配套优秀教学设计内容

第二讲

证明不等式的基本方法

一. 比

较

法 数学 梁杜娟

一．教学目标：

1.了解证明不等式的基本方法中的分析法定义；

2.理解作差比较法与作商比较法的事实依据，步骤，适用范围；

3.灵活运用作差比较法和作商比较法证明不等式. 二．教学重难点：

重点：

1.作差比较法与作商比较法的事实依据，步骤，适用范围；

2.灵活运用作差比较法和作商比较法证明不等式.

难点：

1.证明不等式时，选择作差比较法还是作商比较法；

2.两种比较法步骤中的变形化简. 三．课时安排：1课时

四．教学过程：

（一）自主预习(教材21页-23页):

(1)比较法的定义

(2)比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种,这两种方法的理论依据是什么？

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（二）课堂练习：

1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(

) A.a>b>-b>-a

B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a

D.a>b>-a>-b 解析:选C. 由a+b>0,b<0,得a>-b>0,0>b>-a，于是a>-b>b>-a. 2.若a∈R,则a2+1与2a的大小关系是_________. 解析:因为a∈R,所以a2+1-2a=(a1)2

≥ 0,即a2+1 ≥

2a.答案:a2+1 ≥ 2a （三）.比较法证明不等式

1.作差比较法的依据，步骤，主要适用类型是什么? （1）依据：若a,b∈R,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a0,b>0,则

a >1⇔a>b; a=1⇔a=b; bbab<1⇔a

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（3）适用范围：作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明. 五．例题分析：

例1.已知a,b都是正数，且a≠ b, 求证:a3b3a2bab2

分析:作差，变形化为几个因式相乘,然后与0比较大小,下结论. 证明：a3b3(a2bab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)因为a0,b0,则ab0,(ab)2即a3b3(a2bab2)0所以a3b3a2bab2

作差比较法证明不等式方法技巧小结：

(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号(是正还是负),而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的

3 0

符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式

例2.如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，若在上述溶液中再添加m kg白糖，糖水变甜了，原因是什么？将这个事实抽象为数学问题，并给出证明. 分析：糖水的溶质质量分数发生了怎样的变化，由原来的

abambm 变成了 ，（其中amab

b>a>0,m>0）注意字母的范围.证明bm变式1.（1）已知a>b,求证:abab(ab) (2)已知ad≠ bc,求证: （教材23页习题2.1（1,2题））

4 33(a2b2)(c2d2)(acbd)2

例3.设a>0,b>0,求证:aab(ab)bab2

作商比较法证明不等式方法技巧：

(1)作商:将不等式左右两边（均为正数）的式子进行作商. (2)变形:化简商式到最简形式. (3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.

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六.本节小结：

1.作差比较法的依据，步骤，主要适用类型. 2.作商比较法的依据，步骤，主要适用类型. 3.两种比较法的难点是变形. 七.作业：

教材23页习题2.1（3,4题）

八．板书设计：

证明不等式的基本方法

一. 比较法

一．作差比较法：

若a,b∈R,则

a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a

若a>0,b>0,则

abab例1 教师板书

变式1（学生完成）

例2 教师板书

变式2 >1⇔a>b; a=1⇔a=b; b<1⇔a

九．反思：

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