1.不等式的基本性质优秀完整教案

1.1

课时1 不等式的基本性质

一、教学目标。

（一）核心素养。

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标。

1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3、会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点。

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；比较两个实数（代数式）的大小。. （四）学习难点。

灵活应用不等式的基本性质。.

二、教学设计。

（一）引题。

结合日常生活中，许多含有数字的名言。引出课题《不等式的基本性质》。

设计意图：从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程。

（二）新课设计。

探究一、作差法。

1、基本理论。

研究不等式的出发点是实数的大小关系。通常可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小。观察实数在数轴上的性质:。数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小。

2、设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B那么,当点A在点B的左边时,ab。

abab0;abab0;abab0

3、思考：如何比较两个实数（代数式）的大小？

活动：作差法。

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归纳提炼：理论依据，适用范围，步骤。

4、示范题。

比较x23与3X的大小。

2(x3)3x

解：x23x3

(x233x)2223223

3x234>0 x233x

设计意图：从实例到具体数学问题，从特殊到一般，体会知识的提炼、抽象过程。

常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等。

5、认识作差比较法。

关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：

如果ab，那么ab是正数；如果ab，那么ab等于零；如果ab，那么ab是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：abab0;abab0;abab0，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 设计意图：通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点。

6、进一步了解作差比较法的步骤。

例1：试比较(x3)(x7)和(x5)(x6)的大小。

分析：知识点：作差比较法。

数学思想：分类讨论思想。

解题过程：

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第一步：作差。

(x3)(x7)(x5)(x6)

第二步：变形。

(x3)(x7)(x5)(x6)(x210x21)(x211x30)x9

第三步：定号。当x90时，x9；当x90时，x=9；当x90时，x9

第四步：结论。

当x9时，(x3)(x7)(x5)(x6)；

当x9时，(x3)(x7)=(x5)(x6)；

当x9时，(x3)(x7)(x5)(x6)；

思路点拨：熟悉作差比较法比较大小的步骤

思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？

第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等。

同类训练：教材第9页第2题。

比较(x1)(x2)与(x3)(x6)的大小。

知识点：作差比较法。

数学思想：分类讨论思想。

解：(x1)(x2)(x3)(x6)(x23x2)(x23x18)200，

即(x1)(x2)(x3)(x6)

思路点拨：熟悉作差比较法比较大小的步骤。

设计意图：通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式。

探究二、探究不等式的基本性质。

1、认识不等式的基本性质。

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？

由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质。

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（1）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba. （2）如果ab,bc，那么ac.即ab,bcac. （3）如果ab，那么acbc. （4）如果ab,c0，那么acbc；如果ab,c0，那么acbc. （5）如果ab0，那么anbn(nN,n2). （6）如果ab0，那么nanb(nN,n2). 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向。

思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向。

设计意图：通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫。

2、巩固理解，拓展延伸。

上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：

（1）如果ab,cd，那么acbd；

（2）如果ab0,cd0，那么acbd；

（3）如果ab0,ab，那么11. ab设计意图：从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识

探究三、不等式性质的应用。

教材第9页第1题。

探究四、作商法。

1、例2：已知ab0,cd0，求证：

法一：知识点：不等式的基本性质。

证明：因为ab0,cd0，所以ab0,ab. dcab11ab. 0.所以，故dcdcdc

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法二：作商法。

2、同类训练

求证：如果ab0,cd0，那么acbd. 知识点：不等式的基本性质。

证明：因为cd0，所以cd0，又因为ab0，所以两式可相乘，得acbd，所以acbd.

设计意图：通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式。

（三）课时小结。

不等式的性质是不等式这一章内容的基础，是不等式证明和解不等式的主要依据，因此应特别重视，应熟练掌握和运用不等式的性质和推论。

不等式的证明过程是应用不等式对已知不等式进行变形，从而得出要征的不等式，是证明不等式的常用方法之一。

（四）课后作业。

1、填写不等式性质表格。

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依据

作差法

a-b＞0

a＞b a-b＝0

a＝b

a-b＜0 a＜b 作商法

a＞0，b＞0，

a/b＞1 ⇒a＞b

a/b＝1 ⇒a＝b a/b＜1 ⇒

a＜b 适用

范围

若数（式）的大小不明显，同号两数比较大小，作差后可化为积或商的形或指数式之间比较大式。

小。

（1）作差

（2）变形

（3）判断商值与1的大小

（4）下结论

步骤

（1）作差

（2）变形

（3）判断差值的符号

（4）下结论

2、书本10页习题第3、4题。

3、练习册第3—5页。

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