小结主要内容及教案内容

复习课: 随机变量及其分布列

一、教学目标

1.

理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；

2.

理解超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；

3.

会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 4.

理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 5.

锻炼分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 6.

提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 二、教学重难点

重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 三、学法与教具

1.学法：讲授法、讨论法.

2.教具：多媒体. 四、【知识结构】

五、【知识梳理】

1．随机变量

⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、、等表示．

⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列）

设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,x3,,xixi(i1,2,，取每一个值的概率P(xi)pi，则称表

)x1

P1

x2



P

xi

Pi

P2

称为随机变量的概率分布列，简称的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

(1)pi≥0,i1，2，3，；(2)p1p2p31

3.概率计算公式

(1) 古典概型

A事件包含的试验结果数P(A)总试验结果数nAn

(2)

几何概型

(3)

条件概率

nABPABPB|AnAPAP(A)A事件的区域长度（面积、体积）试验全部结果的区域长度（面积、体积）（4）独立事件

PABPAPBBn,p,n（5）n次独立重复试验

Xkk

PXkCnP1PnkX0,1,2,4．常见的分布列

⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为p(Xk)Cnkpk(1p)nk，显然x是一个随机变量.随机变量x的概率分布如下：

x

P

0

00nCnpq

1

11n1Cnpq

k

n

nn0Cnpq

kknkCnpq

我们称这样的随机变量x服从二项分布,记作X~B(n,p)

⑵两点分布列:如果随机变量的分布列为：



P

0

1P

1

P

这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称pP(1)为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1p)

⑶超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，

其中恰有x件次品数，则事件xk发生的概率为kNkCMCNMP(Xk),k0,1,2,3,nCN,m．其中mmiMn,n,且nN,MN,n,M,NN*，则称分布列

x

P

0

0n0CMCNM

nCN1

1n1CMCNM

nCN

m

mnmCMCNM

nCN为超几何分布列，如果随机变量x的分布列为超几何分布列，则称随机变量x服从超几何分布．

4．条件概率

一般地,设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)发生的条件下,事件B发生的条件概率. 注意:⑴0≤P(B|A)≤1；

⑵可加性：如果B和C互斥，那么P(BC)|AP(B|A)P(C|A)

5．相互独立事件的概率

⑴相互独立事件的定义: 设A,B两个事件, 若P(AB)P(A)P(B)

(即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响), 则称事件A与事件B相互独立. 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:①A与B；

②A与B；

③A与B.

列表比较区互斥事件

别

定义

不可能同时发生的两事件A是否发生对事件B发生相互独立事件

P(AB)

为在事件AP(A)

个事件

概率公式

P(AB)P(A)P(B)

的概率没有影响

P(AB)P(A)P(B)

解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.

⑵n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记Ai是“第i次试验的结果”，

显然，P(A1A2重要结论：

结论1：若ab,则EaEb，Da2D

结论2：若~B(n,p)，则EnP,Dnp(1p)

特别地，若服从两点分布，则EP,Dp(1p)

An)=P(A1)P(A2)P(An)

6．正态分布

⑴正态分布密度曲线

(x)12e(x)222,x(,)(0)分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.

正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作N(,2).如果随机变量服从正态分布,则记为N(,2)

⑵正态曲线有以下特点：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，图像关于直线x对称；

③曲线在x处达峰值12；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤若固定, 随值的变化而沿x轴平移, 故称为位置参数；

⑥当一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故称为形状参数.

⑶3原则：P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974

六、典例分析

考点1

条件概率

例1：一盒子中有大小相同的球

10 个，其中标号为1的球3个，标号为

2 的球

4个，标号为

3 的球3个。现从中不放回地依次取出

两个球. （1）

求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率

（2）

求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率

1C1C133答案

（1）

（pAB）2A1010

（2）

(BA)P(AB)1PP(A)3

例2：从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为X．

(1)求X的分布列及X的数学期望；

(2)求所选女生的人数至多为1的概率．

例3. 将4名大学生随机安排到A，B，C，D四个公司实习.设随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望．

例4.（1）某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分2100

，已知

P



110,10









110





0.36

，估计该班学生数布

N学成绩在120分以上的有______ 人．

【答案】7 



0.6827





,



Z













，



2



，（2）若随机变量

Z

N则PP2Z20.9545



X



8





______．

2

则

P【答案】0.8186 七、【解法小结】

1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与



6,4



，

X

N已知随机变量

二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．

2.对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率

公式等．

3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．

4.本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础．从近几年高考试题来看，一般是一小(一个选择或填空题)一大(一个解答题)，属中档难度试题，主要考查概率的求法、随机变量的分布列、以及随机变量的期望方差等问题．

八、【布置作业】

1.

为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶，如图，若跑步时间不高于秒，则称为“好体能”．

（1）写出这组数据的众数和中位数；

（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生人数众多任取3人，记X表示抽到“好体能”学生的人数，求X的分布列及数学期望．