2.2.1 综合法和分析法名师教学视频（文字实录）

直接证明与间接证明

高考会这样考

1.考查对直接证明和间接证明原理的理解和用法；2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法．

复习备考要这样做

1.抓住三种证明方法的特点，把握它们解题的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型；2.加强训练，总结、体会解题中的一些技巧，灵活应用三种方法证明一些实际问题．

1．

直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件. 2．

间接证明

反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

[难点正本

疑点清源] 1．

综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因．

2．

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

1．

要证明“3＋7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号) ①反证法，②分析法，③综合法．

答案

②

ba2．

下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件ab的个数是________．

答案

3 baba解析

要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．

abab3．

已知函数f(x)＝lg 答案

－b

解析

∵f(－x)＝lg 1＋x1－x＝－lg ＝－f(x)，

1－x1＋x1－x，若f(a)＝b，则f(－a)＝______(用b表示)．

1＋x∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b. 4．

下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有

A．2个

答案

D 解析

由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤正确．

5．

用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

答案

B 解析

因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.

(

)

B．3个

C．4个

(

) D．5个

题型一

综合法的应用

1112例1

已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋a＋b＋c≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

1121思维启迪：利用a2＋b2≥2ab，2＋2≥，再利用ab＋≥2，根据这个解题思路去解ababab答本题即可．

证明

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①

111111同理2＋2＋2≥＋＋，②

abcabbcac1112111＋＋≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥63.③

故a2＋b2＋c2＋abcabbcac所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

1即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

4探究提高

综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．

已知a、b、c为正实数，a＋b＋c＝1. 1求证：(1)a2＋b2＋c2≥；

3(2)3a＋2＋3b＋2＋3c＋2≤6. 1证明

(1)方法一

a2＋b2＋c2－

31＝(3a2＋3b2＋3c2－1) 31＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] 31＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) 31＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，

31∴a2＋b2＋c2≥. 3方法二

∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，

1∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥. 3

111方法三

设a＝＋α，b＝＋β，c＝＋γ. 333∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. 111＋α2＋＋β2＋＋γ2

∴a2＋b2＋c2＝33312＝＋(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2

3311＝＋α2＋β2＋γ2≥，

331∴a2＋b2＋c2≥. 3(2)∵3a＋2＝3a＋2×1≤同理3b＋2≤3a＋2＋13a＋3＝，

223b＋33c＋3，3c＋2≤，

223a＋b＋c＋9∴3a＋2＋3b＋2＋3c＋2≤＝6，

2∴原不等式成立．

题型二

分析法的应用

a＋mb2≤a＋mb. 例2

已知m>0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法．

证明

∵m>0，∴1＋m>0. 所以要证原不等式成立，

只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，

即证m(a2－2ab＋b2)≥0，

即证(a－b)2≥0，

而(a－b)2≥0显然成立，

故原不等式得证．

探究提高

分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．

已知a>0，求证：

证明

要证

只要证

11a2＋2－2≥a＋－2. aa2211a2＋2－2≥a＋－2，

aa11a2＋2＋2≥a＋＋2. aa

∵a>0，故只要证12a＋1＋22，

a2＋2＋2≥aa1即a2＋2＋4a从而只要证2111a＋＋2，

a2＋2＋4≥a2＋2＋2＋22aaa11a＋，

a2＋2≥2aa111a2＋2≥2a2＋2＋2，即a2＋2≥2，

只要证4aaa而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

题型三

反证法的应用

例3

已知a≥－1，求证三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，

x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．

思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”．

证明

假设三个方程都没有实数根，则

4a－4－4a＋3<0a－12－4a2<02a2－4×－2a<03∴－

探究提高

结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样．有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

Sn(2)设bn＝

(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n2

⇒1a>或a<－13－2

，

a1＝2＋1(1)解

由已知得，∴d＝2，

3a＋3d＝9＋321故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．

Sn(2)证明

由(1)得bn＝＝n＋2. n2假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p、q、r∈N*，且互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr.

即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．

∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0. 2q－pr＝0*∵p，q，r∈N，∴，

2q－p－r＝0

∴p＋r2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r. 2与p≠r矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

分析法与综合法的整合

典例：(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．

审题视角

(1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log23＋log26＝log218,2f(b)＝2f(2)＝2log24＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>2f(b)．

要证f(a)＋f(c)>2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，

即证log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b. 因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2ac，显然是成立的．

规范解答

解

f(a)＋f(c)>2f(b)．[2分] 证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，

所以a＋c>2ac.[4分] 因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，

即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，

从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.[8分] 因为f(x)＝log2x是增函数，

所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，[10分] 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．

故f(a)＋f(c)>2f(b)．[12分] 温馨提醒

(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，

再用综合法表述解答或证明过程．有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功．

(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范．将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.

方法与技巧

1．

分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．

2．

综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．

3．

分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

4．

用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

失误与防范

利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．