1.不等式的基本性质教学设计和教学实录

《不等式的基本性质》教学设计

余姚八中

韩丹娜

一、教学目标

（一）核心素养

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点

灵活应用不等式的基本性质.

二、教学设计

（一）引入

1．基本概念

观察以下四个不等式：

a2a1

(1) a33a

(2) 3x12x6

(3) xa

(4) 问：这些不等式的不等号的方向之间有什么关系？

结论：（1）和（2），（3）和（4）不等号方向相同；（1）（2）和（3）（4）不等号方向相反

同向不等式：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同). 异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而

另一个的左边小于右边(不等号的方向相反). (二)课堂设计

1.问题探究

探究一

结合实例，认识不等式

●活动①

归纳提炼概念

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出

不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动②

认识作差比较法

关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：

如果ab，那么ab是正数；如果ab，那么ab等于零；如果ab，那么ab是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：abab0;abab0;abab0，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点. ●活动③

了解作差比较法的步骤

例1

试比较x23和3x的大小. 【知识点】作差比较法

【数学思想】函数思想

【解题过程】

第一步：作差

x33x

第二步：变形

x33x(x)第三步：定号

223

4333(x)20，∴(x)20

∴x233x0

224232第四步：结论

x33x

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？

第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等. 同类训练

比较(x3)(x7)与(x4)(x6)的大小. 【知识点】作差比较法

【解题过程】

2

22(x3)(x7)(x4)(x6)(x10x21)(x10x24)30，

∵∴(x3)(x7)(x4)(x6)

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【答案】(x3)(x7)(x4)(x6)

【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式. 探究二

探究不等式的基本性质

●活动①

认识不等式的基本性质

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等. 由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质. （1）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba. （2）如果ab,bc，那么ac.即ab,bcac. （3）如果ab，那么acbc. （4）如果ab,c0，那么acbc；如果ab,c0，那么acbc. nnab(nN,n2). ab0（5）如果，那么nnab(nN,n2). ab0（6）如果，那么通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向. 对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：

acbcc(ab)，证明：如果ab,c0，则ab0,c0，所以acbcc(ab)0，即acbc，同理如果ab,c0，那么acbc. 思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向. 【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.

●活动②

巩固理解，拓展延伸

上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：

（1）如果ab,cd，那么acbd；

（2）如果ab0,cd0，那么acbd；

11ab0,abab. （3）如果，那么对于上述（2），可由如下方法证明：

acbd(acbc)(bcbd)c(ab)b(cd)0，所以acbd. 【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识. 探究三

不等式性质的应用

●活动①

利用性质证明不等式

abc. 例2

已知ab0,cd0，求证：d【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】

证明：因为ab0,cd0，所以【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】见解析

变式训练一

ab0,ab11ab0c. dc.所以dc，故dcd已知ab，bcad.求证：ab0

cd2ad2abc2bad2c2d2bc【错解】

ab⇒＞⇒＞2⇒ab(22)0

2abababbcadcdc2d2因为，所以22. abab

c2d2所以220，从而ab0. ab错误原因分析

cdcdbcad00【正解】

ab⇒ab⇒⇒ab0

abbcadbcad0bcad0【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】见解析

【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式. ●活动②

互动交流，知识总结

ⅰ实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的

．在数轴上，右边的数总比左边的数

．

(2)如果a－b＞0，则

；如果a－b＝0，则

；如果a－b＜0，则

.

(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的

；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的

．

ⅱ不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即

(2)如果a＞b，b＞c，那么

.即a＞b，b＞c⇒

.

(3)如果a＞b，那么a＋c>

.

(4)如果a＞b，c>0，那么ac

bc；如果a>b，c<0，那么ac

bc.

(5)如果a>b>0，那么a

b

(n∈N，n≥2)．

nn(6)如果a>b>0，那么a

b(n∈N，n≥2)．

ⅲ对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得

不等式；②c＝0时得

；③c<0时得

不等式．

nn

(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以

；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为

时，可以相乘，但不可以

．

(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为

，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒anbn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒∈N＋)．

ⅳ

课堂互动讲练

①

比较(x1)(x2)与(x3)(x6)的大小. 【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】

因为

(x1)(x2)(x3)(x6)(x3x2)(x3x18)200，

所以(x1)(x2)(x3)(x6)

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【答案】(x1)(x2)(x3)(x6)

②求证

22nna>b(n＝2k＋1，k11（）如果1ab,ab0,那么;

ab(2)如果ab0,cd0,那么acbd解（2）【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】证明：因为cd0，所以cd0，又因为ab0，所以两式可相乘，得acbd，所以acbd. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】见解析

【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式. 2.课堂总结

知识梳理

（1）abab0;abab0;abab0. （2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.

（3）不等式的基本性质. 重难点归纳

（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假. （2）灵活应用不等式的基本性质. （三）课后作业

基础型

自主突破

1.设a,bR, 则

“(ab)a20”是“ab”的（

）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【知识点】不等式的性质；充分必要条件

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】若(ab)a20，则ab；若ab，则(ab)a20，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要条件. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 2.对于任意实数a,b,c,d，下列五个命题中: ①若ab,c0，则acbc；②若ab，则ac2bc2；

③若ac2bc2，则ab；

④若ab,则⑤若ab0,cd，则acbd. 其中真命题的个数是（

）

A.1

B.2

C.3

D.4 【知识点】不等式的性质

11；

abacbc不成立，ab，【解题过程】当c0时，①是假命题；当c0,c0ab,c0，时，ac2bc2不成立，②是假命题；因为ac2bc2，所以，c20，ab，③是真命题；2ab,当a,b同号时，1111成立，而a,b异号时，不成立，④是假命题；ababab0,cd时，acbd不一定成立，只有当ab0,cd0时，acbd成立，

⑤是假命题. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 3.如果ab0, 那么（

）

A.ab0

B. acbc

C.a2b2

D.【知识点】不等式的性质

【解题过程】利用不等式的性质: ab0【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】D

4.不等式lgxlgx的解集是（

）

A.(2211

ab110ba

11,1)

B.(100,)

C.(,1)100100(100,)

D.(0,1)(100,)

【知识点】不等式性质及对数运算. 222【解题过程】：由lgxlgx

2lgxlgx

lgx2或lgx0

x100或0x1

【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0. 【答案】D 5.设a1b1,则下列不等式中恒成立的是（

）

A.ab

B.21111

C.

D.a22b

abab【知识点】不等式的性质及应用

【解题过程】由1b1

0b1, 又a1, ab. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 6.若ab0，则下列不等式一定成立的是（

）

A. 2211b|b|1

B.a2ab

C.aaba

D.||

abba|a|1【知识点】不等式的性质.

【数学思想】特殊与一般思想

【解题过程】当a2b10时，成立，

又111，aaba1，选项A、C都不abb4ab0，a2ab，选项B不成立，又|b|b|1|b||a|bab|b|1成立. |0，即||a|a|1|a|(|a|1)|a|(|a|1)a|a|1【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】D 能力型

师生共研

7.已知a,b,cR，给出下列命题：

①若ab，则ac2bc2；②若ab0，则ab③若ab0,nN，则anbn；

2；ba④若logab0(a0,a1)，则a,b中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（

）

A.2

B.3

C.4

D.1 【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质. 【解题过程】当c0时，所以①为假命题；当a与b异号时，0，0，ac2bc20，所以②为假命题；因为ab0,nN，所以anbn，③为真命题. ④若abbalogab0(a0,a1)，则有可能a1,0b1或b1,0a1，即a,b中至少有一个大于1.是真命题. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质

【答案】A 探究型

多维突破

8.集合S{x,y,zx、y、zN*，且xyz、yzx、zxy恰有一个成

立}，若x,y,zS且z,w,xS,则下列选项正确的是（

）

A.y,z,wS,x,y,wS

B.y,z,wS,x,y,wS

C.y,z,wS,x,y,wS

D.y,z,wS,x,y,wS

【知识点】不等关系. 【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】从集合S的定义，x,y,zS可三个不等式，z,w,xS也可得三个不等式，组合之后可知x,y,z,w满足不等关系xyz且xzw，或xyz且wxy，或yzx且zwx，或zxy且zwx，这样可能有yzw或wyz或yzw或wxy，于是x,y,wS不一定成立，y,z,wS也不一定成立. 【思路点拨】分类讨论注意不重不漏

【答案】B 9.已知ab0，则下列不等式中总成立的是（

）

A.a1111bb111

D.ba

b

B.ab

C.baabaa1ba【知识点】不等式的性质

1111【解题过程】ab0,0,ab. baba【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 自助餐

10.如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项不恒成立的是（

）

A.abac

B.cb2ab2

C.cba0

D.acac0

【知识点】不等式的性质. 【解题过程】ca且ac0，故c0,a0，由不等式的性质知A，C，D都恒成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】B 11.已知a,bR且ab，则下列不等式中成立的是（

）

A.a1

B.a2b2

C.lnab0

D.2ab1

b【知识点】不等式的性质. 【解题过程】只有当ab0时，选项A，B正确；要使lnab0，必须ab1，所以选项C错误；当ab时，ab0,2【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】D 12.设a,b,cR且ab，则（

）

ab201.

A.acbc

B.11

C.a2b2

D.a3b3

ab【知识点】不等式的性质. 【解题过程】选项A中若c„0时,结果错,故A不正确;选项B中若0ab时,结果错,故B不正确;选项C中若0ab时,结果错,故C不正确;在选项D中由不等式性质可知是正确的. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】D 13.当0x1时，下列大小关系正确的是（

）

A.x33xlog3x

B.log3xx33x

C.3xx3log3x

D.log3x3xx3

【知识点】利用中间值法比较大小

【解题过程】当0x1时，log3xlog310，0x3131，1303x313，所以log3xx33x. 【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”

【答案】B 14.设a21.43,b3,cln,则a,b,c的大小关系是（

）

232A.abc

B.bca

C.cab

D.bac

【知识点】比较大小. 【解题过程】a(2)1.41，b31，cln3231，所以c最小，而a221.4，2b23327，

所以a2b2，即ab，所以综上得：cab. 【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较

【答案】D