2.基本不等式教案设计（一等奖）

ab

2

授课人：王旭龙

基本不等式 ab≤[教学目标] 1.知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

2.过程与方法

：要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

3.情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

[重 点]：

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式abab。

2[难 点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

[教学方法]：启发、引导、讲解。

[教学过程]：

一、情境导入

同学们，2018年6月在俄罗斯将要举办世界杯，世界杯每四年举办一次，体育界的奥运会也是每四年举办一次，我们数学界也有一项盛事—世界数学家大会ICM，也是每四年一次。2002年ICM第一次来到了中国北京，大会会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，图中有一些相等关系或不等关系，我们初中时候根据相等关系发现了勾股定理，那么这里面也有一些不等关系，带着这个问题，我们来学习新课—基本不等式. (介绍数学知识，增加学生学习兴趣）

二、新课探究

1.探究重要不等式

多媒体展示大会会标，让学生观察图形. 为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为a,b。

问：大正方形的面积与四个全等的直角三角形的面积之和怎么表示呢，它们大小之间有什么关系？

答：大正方形的面积为a2b2,四个全等的直角三角形的面积之和为2ab，则 a2b22ab

问：当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? a,b有什么关系? 答：当直角三角形变为等腰直角三角形,即ab时,正方形EFGH缩为一个点时有a2b22ab。

问：如何代数法证明 a2b22ab，当且仅当ab时取等号。

2答：由a2b22abab0，所以a2b22ab

当且仅当ab0，即ab时取等号。

[板书]：重要不等式：一般地，对于任意实数a,b，都有a2b22ab，当且仅当ab时取等号。

2.探究基本不等式

2

问：当a0,b0时，以a，b代替此式中a,b的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab2ab abab,当且仅当ab时等号成立

[板书]：基本不等式：a,b0,2怎么证明这个结论呢？（分析法，引导学生填写下面证明过程）：

abab ① 要证：2 只要证：ab ②

要证②，只要证

ab— 0 ③

要证③，只要证（ — ）

2

0 ④ 显然④是成立的，当且仅当ab时④中的等号成立

ab问：ab≤

有什么几何意义？（引导学生探究下面的问题）

2探究：AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa,BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，OD，你能利用这个图形得ab出不等式≥ab的几何解释吗？ 半弦长不大于半径长

2三．运用规律，解决问题

1例1：已知x0,求证x2,并指出等号成立的条件

xab变式：（学生板演，教师指正）已知ab0,求证与2的关系，并说明理由

ba例2：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各位多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？

（点明解题思路，设未知数，根据条件列等式，利用基本不等式求最值）

变式：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，当矩形长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？

规律总结：在利用基本不等式求最值时，要注意：（1）一正：各项均为正数

（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。

两个正数和为定值，积有最大值。

（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，

否则会出现错误

（学生完成导学案上练习巩固）

四．课堂小结 (引导学生自我总结) 1.知识点：基本不等式及使用的条件 2.本节课你能感受到哪些数学思想? 五：作业布置 1.P100页 练习题1,2 2.思考题：（1）已知x3,求f(x)x4的最小值

x311（2）设x0,y0,且2xy1,求的最小值. xy