探究与发现 组合数的两个性质ppt课件课堂实录

《组合数的两个性质》教学设计

教学目标：①理解并掌握组合数的两个性质并能运用性质解决有关问题；

②通过组合数性质的推导过程，提高学生观察问题、分析问题、

解决问题的能力。

教学重点：掌握组合数的两个性质并灵活运用性质解决有关问题。

（一）复习回顾（让学生回答）

一、组合的定义

二、组合数定义

三、组合数公式

1、组合数公式的两种形式是

mCnmAnn(n1)(n2)(nm1)m

(n,mN,且mn)

m!AmmC

nn!

(n,mN,且mn)

m!(nm)!nmCn

2、组合数的性质1 m

Cn(n,mN,且mn)

（二）教授新课

第一阶段：创设情景，提出问题

一个口袋内装有不同编号，大小相同的7个白球和1个黑球

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

第二阶段：独立探究，感知问题

3解：（1）C887656

3!76221

（2）C72!765335

（3）C73!提问学生：从此例三问的计算结果我们能否发现它们之间有怎样的关系呢？

从上面我们发现第（1）问的结果等于第（2）（3）问结果的和，

C8C7C7

，即：这是一种偶然现象吗？你能否对这一结果作出解释吗？（让学生回答）

实际上，从口袋内的8个球中所取的3个球，可分为两类：

2

一类：含1个黑球，2个白球；就是从7个白球中取出2个，取法种数是C7

3

二类：不含黑球，3个都是白球；就是从7个白球中取出3个，取法种数是C7

323

∴由分类计数原理可得上述等式成立

第三阶段：从特殊到一般、从具体到抽象，解决下面的问题

m

一般地，从a1,a2,a3,an1这n＋1个不同的元素中取出m个的组合数是Cn1

而另一方面，这些组合又可以分成两类：

一类：含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素中取出m－1个元素与m1个

a1组成的，共有Cn二类：不含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素中取出m个元素组m成的，共有Cn个

∴由分类计数原理，得

组合数的性质2

mm1mCnCC1nn

（体现了组合数的可分解性）

【给时间学生自主证明】

n!n!证明：右边＝

(m1)!(nm1)!m!(nm)!mn!(nm1)n!

＝

m!(nm1)!(mnm1)n!

＝

m!(nm1)!(n1)n!

＝

m!(nm1)!(n1)!

＝

m!(nm1)!m

＝Cn1＝左边

∴得证

1、强调组合数性质的特征，帮助学生对性质的记忆

2、主要应用于证明组合恒等式

第四阶段：性质应用，反馈测试

56C12

例1：计算（1）C12

9796952C98C98

（2）C98

566C12

解：（1）C12＝C1313!1716

6!(136)!979695979696952C98C98C98)(C98C98)

（2）C98＝(C98

＝C99C99

97

＝C100

3

＝C100

9796

＝1009998

3!＝161700 22223

例2：求证：

C2C3C4C5C6

3222

证：左边＝C3C3C4C5

322

＝C4C4C5

32

=C5C5

=C6

∴得证

引导学生找规律，并推广

nnnnnn1

推广式：CnCn1Cn2Cnm1CnmCnm1

012m2m1m思考：CnCn1Cn2Cnm2Cnm1Cnm?

012m2m1m1m

引导学生推导结论：CnCn1Cn2Cnm2Cnm1CnmCnm1

3（三）小结反思

通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的性质的基础上，能够运用组合数公式及其性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用。