阅读与思考 九连环优秀教案设计

九连环与递推数列

一、教学目标：

1.

知识与技能：掌握解九连环的方法，掌握用递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数，从而推广到解n连环. 2.

思想与方法：通过递推法来求解九连环的最少移动步数，进一步渗透化归思想；通过构造法、累加法来求解n连环的最少移动步数，进一步渗透分类讨论思想. 3.

情感、态度、价值观：通过研究九连环的来源、结构、玩法和求解最少移动步数来增强学生对九连环的学习兴趣，锻炼学生的迁移能力和逻辑推理能力，从而让学生明白数学和生活息息相关. 二、教学重点：

1.

解九连环的策略与方法. 2.

结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数. 三、教学难点：

1.

将九连环问题转化为数列问题. 2.

解n连环的最少移动步数. 四、学法指导：探索式教学. 五、教具：教师自备四个九连环（二个九个环都在柄上；一个已解下前七环；一个已解下前三环），学生每人一个，多媒体辅助教学. 六、教学过程：

1.导入：

很高兴能有这个机会给大家上这么一堂课

中华民族是一个智慧的民族，在古代就取得了很多伟大的成就，比如四大发明，四大名著，其实中国古代还有四大益智游戏大家知道吗？

七巧板、华容道、孔明锁（鲁班锁）、九连环。

四张图片（古代两张、现代两张都在解九连环）引出九连环的来源. 今天这节课我们要研究的就是九连环。九连环在宋代已经流行，至今已有800多年的历史。有关它的发明史，还有一些不同的说法。

1．春秋战国说

《战国策·齐策》中有一段秦昭王解玉连环的记载，有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。这“玉连环”是否就是现在所说的九连环，还须证据。但那时已经有了连环一类的玩具。

2．西汉说

西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有明确用了“九连环”这个词。还是连在一起的能玩的玩具一类的东西。

3．三国说

认为是诸葛亮发明，但这并无证据，估计是由于诸葛亮是智慧的代表，特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。那么不知来历的巧妙玩意儿，像孔明灯、孔明锁，都冠以诸葛的名字，也就不奇怪了。如果是这样，那九连环的流行，应在三国之后。

在《红楼梦》第七回中，记载林黛玉解九连环的情景。总之，九连环产生在古代中国，这已为世界所公认。

2.九连环的结构：

环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板柄钗环环杆

3.如何解九连环？

解九连环的两个要点：

（1）第一环可以自由上（下）；

（2）要想上（下）第n环（n2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环都不在环柄上

视频展示解前7环的过程。

4.如何解九连环这个问题我们已经解决了。那么大家有没有发现在解九连环的过程中上下移动圆环总共移了多少次？

下面我们一起来探究一下.大家知道要解下九连环，必须先解下前七环；要解下前七环，必须先解下前五环；要解下前五环，必须先解下前三环；要解下前三环，必须先解下第一环.它们之间存在着一种递推关系，故我们可以用刚学过的递推数列来表示，我们用通项an表示解下前n环所需的最少移动次数.要解下九连环须分为四个步骤1.解下前七环；2.解下第九环；3.套上前七环；4解下前八环.结合flash得到：a92a7a81

类似的，大家能否推导出a8？你能否解释一下这个过程？

最后归纳得到一个递推公式：an2an2an11.能否对这个式子进行解释说明？

利用递推公式可得：

a11a22a32a1a215a52a3a4121a72a5a6185

a42a2a3110a62a4a5142a82a6a71170小组讨论：

a92a7a813415.我们已经得到a9，那么如何利用这个递推公式an2an2an11求通项an呢？

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2则(1)(2)

anan12an2an12an3an2bn2bn1当n3时，数列bn为等比数列(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1

当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22n1以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)3122当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)3122

1n1(22)当n为偶数时

3综上知

n1n1(21)当n为奇数时

3七、小结：（1）解九连环的诀窍

（2）本节课的收获：知识、思想、方法等方面

八、课外探究题：

n1

a{

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题

（2）了解中国古代四大益智游戏：九连环、华容道、七巧板、孔明锁

（3）华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

九、板书设计：

1、九连环的玩法

2、九连环的步数

（1）第一环可以自由上（下）

（2）要想上（下）第n环（n>2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环不在环柄上

十、教后感：