9、整理与练习教案设计（一等奖）

表面涂色的正方体

常州市怀德教育集团

曹俊

【教学内容】

苏教版小学数学六年级上册“表面涂色的正方体”

【教学目标】

1.

使学生经历把表面涂色的正方体均分成若干个同样大的小正方体并探索小正方体表面涂色规律的过程，初步理解小正方体表面涂色情况与它在大正方体中所处位置的关系，能用含有字母的式子表达发现的规律。

2.

使学生通过直观观察、操作比较、想象推理、归纳表达等活动，体会探索规律的一般方法，感受基本数学思想，进一步发展空间观念。

3.

使学生在探索和表达规律的过程中获得一些成功地体验，进一步感受数学学习的乐趣。

【教学重点】

探索并发现每一类涂色小正方体的个数与大正方体每条棱被平均分成的份数之间的关系。

【教具准备】每条棱被等分成2份、3份、4份的正方体木块各12套。

【教学过程】

一、情境导入

1.产生问题：小明生日，妈妈买了一块蛋糕，蛋糕表面涂了一层巧克力。小明最爱吃巧克力，可是爸爸不爱吃。蛋糕切开后，你觉得他们各会选择吃哪一块？为什么？（同桌说说看）

生：小明吃1、3、7、9（角上的四块），因为有三面涂有巧克力；爸爸吃最中间一块，只有一面涂有巧克力。

追问：剩下的，为什么没人选？（有两面涂有巧克力）

【预设】学生说角上的巧克力最多，要追问：为什么最多？

小结：把这块表面涂有巧克力的蛋糕切成九等份，每小块涂有巧克力的面数不同，有的三面涂有巧克力，有的两面，有的只有一面。而且每种情况的块数并不完全一样。

2.揭示课题：假如蛋糕再厚一些，高度和长、宽一样，底面也涂上巧克力，从数学的角度来看，它就是一个表面涂色的正方体.如果将这个表面涂色的正方体每条棱都平均分成2份、3份或4份、5份……然后把它切开，结果会怎样呢？这里面会有规律吗？ 今天我们就来研究“表面涂色的正方体”。（板书课题）。

二、实践探究

（一）探究活动一：涂色面有几种情况？

1.二等分

（1）动态演示出示棱2等分：先从最简单的开始研究，这个正方体，沿着长中间切一刀，沿着宽中间切一刀，再沿着高中间切一刀，这样每条棱被平均分成了2份。

仔细观察，想一想：

切开后，切成了多少个同样大小的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？

（2）组织交流：

一共分成了8个三面涂色的小正方体，每个小正方体都有3个面涂色。

师：为什么切开每个小正方体都是3面涂色？

（3）指导观察方法：

我们观察分析是否正确？大家打开盒子，我们来切一切，分一分，看一看。

动态演示。学生分一分，看一看：横着切一刀，分分看（切面不涂色）；竖着切一刀，继续分分看（又一个切面不涂色）；再从高中间切一刀，每人拿一个看看。切三刀，就有3个切面不涂色。所以，每个小正方体都是3面涂色。

小结：经过观察、分析和验证，我们发现，棱2等分，切成的小正方体只有一种情况，每个都是3面涂色。

（4）质疑：随着分的份数越多，会不会出现4面、5面、6面不涂色的情况呢？为什么？

（小组讨论一下）

小结：一刀不切才会6面都涂色，切开的位置就不涂色，切一次，一个切面不涂色；切2次，两个切面不涂色，切3次，三个切面不涂色，所以沿着长宽高等分切开，就会有3个切面不涂色，因此，每个小正方体最多3面涂色。

2.三等分

（1）出示棱3等分正方体：现在每条棱被平均分成了3份，切开后，情况又会怎么样呢？

会有几种情况呢？每种情况的小正方体各有多少块呢？

打开盖子，仔细观察，把你们的想法填在表格里。

能切成多少个小正方体？每个小正方体有几个面涂色？每种小正方体各有多少个？

（2）组织交流，讨论：

小正方体的个数是怎样得到的？（板书：3³=27）

你们认为小正方体有四种情况：3面涂色、2面涂色、1面涂色，还有0面涂色（板书）。

电脑演示：3面涂色的小正方体在哪里？有几个？为什么这些小正方体都在“角”上？

师：也就是说，小正方体有几面涂色跟它所在的位置有关。

那么，2面涂色的小正方体在哪里？有几个呢？1面涂色的呢？0面涂色的呢？（板书）

把棱长3等分的四种情况加一加，是不是27个？（看看是不是，ppt演示）

小结：经过进一步的观察、分析和验证，我们发现，棱3等分，切成的小正方体有4种情况，每个小正方体几面涂色跟它所在的位置有关。

（二）探究活动二：验证规律

1.提出：如果增加难度，继续分下去，每条棱被4等分，情况又会怎么样？小组里议一议，先把你们的想法填在表格里。

提出：有了自己的猜想，我们来动手验证一下是否正确。每组有一个袋子，袋子里准备了4种情况的小正方体。请根据你们的想法拼一个棱长4等分的正方体，边拼边思考，完成后小组内互相说说你的发现。

2.组织交流：

（1）出示拼成的彩色大正方体：请拼的最快的小组说一说，你们是怎么拼的？

生：先确定4个顶点，再棱上2个面，然后中间4个面，一层一层拼

追问：为什么这顶点都选的红色（三面涂色都在顶点上）

相机介绍（加手势）：红色的三面涂色正方体在大正方体顶点位置，绿色的两面涂色的在棱上，黄色的一面涂色的在面中心，0面涂色的在内部。

（板书：顶点、棱上、面中心、内部）

在我们五年级玩魔方时，就把在顶点的三面涂色的正方体称为角块，棱上的两面涂色的称为棱块。面中间的一面涂色的称为中心块。棱4等分的正方体就相当于一个四阶魔方。

（2）每一种情况的小正方体各有多少个？（填表）

生：三面涂色的在顶点位置有8个，两面涂色的在棱上，每条棱上2个，一共有2×12＝24个，一面涂色的在中心块，每个面上4个，一共有4×6＝24个，0面涂色的有8个，在正方体内部。

相机验证：算总数8＋24＋24＋8＝64。（动画演示中间的8块） 小结：经过探索，我们发现，各种小正方体的个数与正方体顶点、面和棱的个数有关。

（三）探究活动三：总结规律

1.猜想：如果把大正方体的每条棱平均分成5份，情况又会怎么样？没有学具的帮助，你能挑战一下吗？小组里议一议，然后记录在表格里。

交流讨论：

3面涂色的在顶点处，还是8个。

2面涂色的每条棱上有3个，12条棱上一共有3×12=36个。

1面涂色的每一面有3×3=9个，6个面上一共有9×6=54个。

0面涂色的有27个。（3×3×3或者125-8-36-54）。

追问：你怎么确定每个棱上又3个两面涂色的? 每个面中间有9个一面涂色的？内部的0面涂色你又是怎么确定的？

PPT验证。

2.

如果把大正方体的每条棱平均分成n份，你能用含有字母的式子来表示各种小正方体的个数与n的关系吗？小组内交流。填好表格。

交流板书：不管棱几等分，三面涂色的小正方体都是8个。两面涂色的小正方体个数是（n-2）×12，一面涂色的小正方体的个数是（n-2）²×6。0面涂色的小正方体有（n-2）³个。

三、回顾反思

1.回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？

预设：三面涂色在顶点位置，都是8个，两面涂色都在棱上，是……

小结：找各种小正方体时，要注意它们在大正方体上的位置。各种小正方体的个数与正方体顶点、面和棱的个数有关。 预设：我们研究表面涂色的正方体，是从二等分开始的……（研究问题从简单到复杂）

预设：通过数一数、拼一拼、算一算的方法……（学生说不到就老师自己总结）

小结：在探索和发现表面涂色正方体的规律过程中，从二等分入手，简单到复杂，我们用了找、数、拼、算的方法，结合正方体的图形特征进行思考，最终解决了问题。

板书设计： 表面涂色的正方体

图

图

分色图

分色图

n

小正方体个数

3面涂色

2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 n³³

8 （顶点）

2面涂色

0 （棱上）

1面涂色

0 （面中心）

0面涂色

0 （内部）

8 8 8 8 12 24 3×12=36 （n－2）×12

6 24 9×6=54 （n－2）²×12

1 8 27 （n－2）³