11.2 提公因式法名师教学视频（文字实录）

提公因式法

卢龙县燕河营镇中学 盛保和

一、内容与分析

本节课是七年级下册内容。学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。

二、教学目标

（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；

（2）会用提取公因式法进行因式分解。

三、重点及难点：

重点：

（1）学生能确定多项式中各项的公因式；

（2）学生能用提公因式法把多项式分解因式。

难点：正确找出多项式中各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定。

四、教学过程

第一环节 引入

问题1：（1）19992＋1999能被1999整除吗？

（2）ma+mb+mc能被a+b+c整除吗？（

a+b+c不等于0

）

（3）x2＋x能被x＋1整除吗？（ x 为正整数）

设计意图：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍。

第二环节 想一想

问题2：这几个多项式有什么特点？

(1)19992＋1999 =(1999)(1999+1)；

1

(2) ma+mb+mc=(m )( a+b+c )；

(3) x2 +x =( x )( x+1 )。

结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

设计意图：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式。

师生活动：教师提出问题后主要由学生总结，由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式，知道公因式的概念。

提公因式法定义：

因式分解：ma+mb+mc=(m )( a+b+c ) 结论：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

第三环节 议一议

问题3：下面四个多项式的公因式是什么？

（1）、8x+12y 公因式：4 （2）、8ax+12ay 公因式：4a （3）、8a3bx+12a2b2y 公因式：4a2b

（4）、9x2-6xy+3x 公因式：3x 思考：多项式中的公因式是如何确定的？(学生分小组合作交流探索）

学生总结出：（正确找出多项式各项公因式的关键）

1、定系数：公因式的系数是多项式各项中系数的最大公约数。

2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数。

设计意图：由于第二环节提供的几个多项式不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力。

师生活动：学生知道每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论。在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式。

第四环节

例题讲解

例1 、

把下列多项式分解因式：

2

（1）5a2+25a （2）3a2-9ab 分析（1）：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：

1、定系数：系数5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；

2、定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；

3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1； 所以，5a2+25a的公因式为：5a 解(1):5a2+25a =5a•a+5a•5

=5a(a+5) 分析（2）：对于3a2-9ab；

1、定系数：3和-9的最大公约数是3，故公因式的系数为 3；

2、定字母：观察可知相同字母是a, 故公因式的字母取为a；

3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1；

所以多项式3a2-9ab的公因式为：3a 解(2):3a2-9ab =3a•a-3a•3b

=3a(a-3b) （学生板书，师生共同找出错误之处）

设计意图：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备。

例2、把下列各式因式分解：

1、

2xy2+x2y +xy 解：2xy2+x2y+xy =2yxy+xxy+1xy =xy(2y+x+1) 注意：不要漏项。这里把xy写成xy·1,可知提出一个因式xy后,另一个因式是1。

2、

-5a2+25a 解：-5a2+25a = -(5a2-25a) =-(5a.a-5a.5)

3 ...

=-5a(a-5) 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

设计意图：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．

师生活动：学生归纳：提取公因式的步骤：

第一步，找出公因式；

第二步，提取公因式； 第三步，将多项式化成几个因式乘积的形式。

易出现的问题：（1）例2第1题中的最后一项提出xy后，漏掉了“+1”；

（2）例2第2题中提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号。

矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

第五环节 达标测试，当堂反馈

将下列多项式进行分解因式：

1、2x+3xy 2、8x2y-4xy2= 3、12xyz-9x2y2+3xy 4、-2a(x+y)+3b(x+y) 设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏。从学生的反馈情况来看，学生对公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌握，但依然有部分同学出现第四环节中的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导。

师生活动：从学生掌握的情况出发，看看学生的问题是在寻找公因式方面还是在提公因式方面没有很好的掌握，教师再加以强调公因式的找法和提公因式应该注意的事项。

第六环节 课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？

第七环节 课后作业 课本：P146页，A组第1、2题

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